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Vektor

Ein Vektor wird gekennzeichnet durch eine Länge und eine Richtung. Es wird unterschieden zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren.
Ortsvektoren werden immer vom Koordinatenursprung aus gezeichnet. Richtungsvektoren sind im Koordinatensystem ortsungebunden.

Wichtige Themenbereich über Vektoren sind:

Linearkombination

Eine Linearkombination bedeutet, dass ein Vektor durch die Summe anderer Vektoren dargestellt wird. Wenn z.B für die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ gilt, dass:

$$\vec{c}=3\cdot\vec{a}+4\cdot\vec{b}$$

dann ist $\vec{c}$ eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Da diese drei Vektoren dann auch in einer Ebene liegen, sind die Vektoren linear abhängig.

Beispiel

Stelle den Vektor $\vec{c}=\begin{pmatrix}
3\\
14\\
32
\end{pmatrix}$ als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
4
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
5
\end{pmatrix}$ dar.
Der Vektor $\vec{c}=\begin{pmatrix}
3\\
14\\
32
\end{pmatrix}$ kann als Linearkombination der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
4
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
5
\end{pmatrix}$ dargestellt werden, mit:

$$3\cdot\begin{pmatrix}
1\\
2\\
4
\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}
0\\
2\\
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3\\
14\\
32
\end{pmatrix} $$

Da $\vec{c}$ durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear kombiniert werden kann, liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene. Sie sind dementsprechend linear abhängig.

Beispiel

Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit $A(1/2/8)$ und $B(-2/0/1)$.

Um den Mittelpunkt der Strecke von AB zu bestimmen, gehen wir vom Nullpunkt aus erst zu Punkt $A$ und von dort aus $\frac{1}{2}$ mal in Richtung des Vektors $\vec{AB}$.

Die Koordinaten des Mittelpunktes werden also berechnet mit:

$$\vec{M}=\vec{A}+\frac{1}{2}\cdot\vec{AB}$$

Hier muss noch der unbekannte Vektor $\vec{AB}$ bestimmt werden:

$$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
-2\\
0\\
1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1\\
2\\
8
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\\
-2\\
-7
\end{pmatrix}$$

Nun kann der Mittelpunkt der Strecke berechnet weden:

$$\vec{M}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
8
\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}
-3 \\
-2 \\
-7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-0,5 \\
1 \\
4,5
\end{pmatrix} $$

Beispiel

Mit welchem Faktor $k$ muss der Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}
4 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}$ gestaucht bzw. gestreckt werden, damit gilt:

$k\cdot\begin{pmatrix}
4 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
10 \\
30 \\
20
\end{pmatrix}$ ?
Gleichungssystem aufstellen:

$$4k=10$$

$$12k=30$$

$$8k=20$$

Für jede Gleichung gilt $k=2,5$. Somit muss der Vektor um $k=2,5$ gestreckt werden. Da jede Gleichung für $k$ den selben Wert lierfert, sind die Vektoren auch linear abhängig.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(2/1/3), B(6/1/7), C(-5/-3/0)$. Bestimme einen Punkt $D$, sodass die gegebenen Punkte ein Parallelogramm bilden.
Bei dieser Aufgabe wird der Punkt $D$ linear kombiniert.

Um zu Punkt $D$ zu gelangen, gehen wir vom Nullpunkt des Koordinatensystems erst zu Punkt $C$ und von dort aus in Richtung des Vektors $\vec{CD}$. Der Vektor $\vec{CD}$ entspricht dem Vektor $\vec{AB}$. Somit lautet die Formel für den Punkt $D$:

$$\vec{D}=\vec{C}+\vec{AB}$$

Hier muss noch der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt werden:

$$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
6 \\
1 \\
7
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
4
\end{pmatrix} $$

Einsetzen in die Formel für $\vec{D}$ ergibt:

$$\vec{D}=\begin{pmatrix}
-5 \\
-3 \\
0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-3, \\
-4
\end{pmatrix}$$

Betrag

Ein Vektor wird definiert durch eine Länge und eine Richtung. Die Länge des Vektors nennt man Betrag. Wenn ein Vektor einen Betrag von $1$ hat, spricht man auch von einem normierten Vektor.

Zwei Vektoren mit unterschiedlichem Betrag aber gleicher Richtung sind linear abhängig.
Der Betrag kann unter anderem dazu verwendet werden, den Abstand von zwei Punkten zu berechnen.

Für den Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$ wird der Betrag berechnet mit:

$$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Für den Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} $ ist der Betrag:

$$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Beispiel

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}$.

Einsetzen der Koordinaten des Vektors in die Formel ergibt:

$$|\vec{v}|=\sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{21}$$

Beispiel

Gegeben ist der Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}
-2 \\
5 \\
z
\end{pmatrix} $. Für welches $z$ beträgt der Betrag des Vektors $|\vec{a}|=35$ Längeneinheiten ?
Betrag des Vektors berechnen und mit 35 gleichsetzen:

$$(-2)^2+5^2+z^2=35$$

Gleichung nach $z$ umstellen:

$$4+25+z^2=35$$

$$29+z^2=35$$

$$z^2=6$$

$$z_1=2,45$$

$$z_2=-2,45$$

Normierung

Wenn ein Vektor normiert wird, dann wird der Betrag des Vektors auf $1$ gebracht.
Ein Vektor $\vec{a}$ wird normiert mit der Formel:

$$\vec{a}_0=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot\vec{a}$$

Dabei steht $|\vec{a}|$ für den Betrag des Vektors.

Beispiel

Normiere den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}$.

Betrag des Vektors bestimmen:

$$|\vec{v}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

Betrag in die Formel einsetzen ergibt den normierten Vektor:

$$\vec{v}_0=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,67 \\
0,33 \\
0,67
\end{pmatrix}$$

Skalarprodukt

Wenn zwei Vektoren multipliziert werden, ist das Ergebnis immer eine Zahl (Skalar) und nie ein Vektor. Deswegen nennt man die Multiplikation von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
Wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren null ist, dann stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Das Skalarprodukt spielt unter anderem eine Rolle bei der Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren mit $\vec{a}=\begin{pmatrix}
a_1 \\
b_1 \\
c_1
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
a_2 \\
b_2 \\
c_2
\end{pmatrix}$, wird berechnet mit der Formel:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2$$

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
2 \\
8 \\
5
\end{pmatrix}$.
Vektoren in die Formel einsetzen ergibt:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
8 \\
5
\end{pmatrix}=4\cdot2+2\cdot8+3\cdot5=39$$

Beispiel

Für welches $z$ haben die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
0 \\
-2 \\
4
\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}
8 \\
6 \\
z
\end{pmatrix}$ ein Skalarpodukt von $\vec{a}\cdot\vec{b}=18$ ?
Vektoren in die Formel für das Skalarprodukt einsetzen ergibt:

$$0\cdot8+(-2)\cdot6+4\cdot z=18$$

Gleichung nach $z$ umstellen:

$$-12+4z=18$$

$$30=4z$$

$$7,5=z$$

Winkel

Zwei Vektoren, die nicht parallel sind, bilden immer einen Winkel.

Der Winkel zwischen den Vektoren wird berechnet mit der Formel:

$$\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$

Dabei bezeichnet $\vec{a}\cdot\vec{b}$ das Skalarprodukt und $|\vec{a}|$ bzw. $|\vec{b}|$ die Beträge der Vektoren.

Beispiel

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
3 \\
8 \\
5
\end{pmatrix}$.
Zuerst berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

$$\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
8 \\
5
\end{pmatrix}=2\cdot3+1\cdot8+2\cdot5=24$$

Nun berechnen wir die Beträge der Vektoren:

$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3$$

$$|\vec{b}|=\sqrt{3^2+8^2+5^2}=9,9$$

Einsetzen in die Formel ergibt:

$$\cos(\alpha)=\frac{24}{3\cdot9,9}=0,81$$

Gleichung nach $\alpha$ umstellen:

$$\alpha=\cos^{-1}(0,81)=35,9^\circ$$

Lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen, aber eine unterschiedliche Länge aufweisen. Einer der Vektoren kann dann so verlängert bzw. verkürzt werden, dass beide Vektoren genau gleich sind.

Sind also zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear abhängig, gibt es eine Zahl $x$ für die gilt:

$$x\cdot\vec{a}=\vec{b}$$

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen. Dann werden Zahlen $x$ und $y$ gesucht, für die gilt:

$$x\cdot\vec{a}+y\cdot\vec{b}=\vec{c}$$

Beispiel

Untersuche, ob die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix} $ und $ \vec{b}=\begin{pmatrix}
7 \\
3,5 \\
17,5
\end{pmatrix} $ linear abhängig sind.

Wir suchen eine Zahl $x$, für die gilt:

$$x\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
3,5 \\
17,5
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$2x=7$$

$$1x=3,54$$

$$5x=17,5$$

Alle 3 Gleichungen ergeben $x=3,5$. Somit sind die beiden Vektoren linear abhängig. Wenn nicht jede Gleichung dasselbe Ergebnis liefert, sind die Vektoren linear unabhängig.

Beispiel

Untersuche, ob die drei Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
1 \\
4 \\
7
\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
8
\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}
-3 \\
5 \\
9
\end{pmatrix}$ linear abhängig sind.

Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gibt es Zahlen $x$ und $y$, für die gilt:

$$x\cdot\vec{a}+y\cdot\vec{b}=\vec{c}$$

In der Schreibweise mit den Vektoren:

$$x\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
4 \\
7
\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
8
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3 \\
5 \\
9
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$x=-3$$

$$4x+2y=5$$

$$7x+8y=9$$

Erste Gleichung in zweite einsetzen und $y$ berechnen:

$$4\cdot(-3)+2y=5$$

$$-12+2y=5$$

$$2y=17$$

$$y=8,5$$

Nun werden $x$ und $y$ in die dritte Gleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob sich ein Widerspruch ergibt oder nicht:

$$7\cdot(-3)+8\cdot8,5=47$$

Aus diesem Widerspruch folgt, dass die Vektoren nicht linear abhängig sind.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, liefert als Ergebnis einen Vektor $\vec{n}$, der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht.

Da der Vektor $\vec{n}$ senkrecht zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht, ist das Skalarprodukt dieser Vektoren null.
Das Kreuzprodukt wird geschrieben als:

$$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$$

Das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix}$ wird berechnet mit:

$$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\
a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\
a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1
\end{pmatrix} $$

Beispiel

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}
6 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}$
Wir wenden obige Formel an und erhalten:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
6 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\cdot1-4\cdot3 \\
4\cdot6-2\cdot1 \\
2\cdot3-1\cdot6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-11 \\
22 \\
0
\end{pmatrix}$$

Zur Probe wird noch das Skalarprodukt berechnet, welches null ergeben muss:

$$\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-11 \\
22 \\
0
\end{pmatrix}=0$$

$$\begin{pmatrix}
6 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-11 \\
22 \\
0
\end{pmatrix}=0$$

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