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Gerade

Eine Gerade wird in vektorieller Form durch einen Ortsvektor $\vec{A}$ (Punkt der Gerade) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ (Richtung der Gerade) dargestellt. Die allgemeine Gleichung für eine Gerade in vektorieller Form lautet:

$$g:\vec{x}=\vec{A}+t\cdot\vec{v}$$

Damit jeder Punkt auf der Gerade erreicht werden kann, wird der Richtungsvektor $\vec{v}$ durch den Faktor $t$ beliebig verkürzt oder verlängert. So ergibt sich eine unendlich lange Gerade, auf der jeder Punkt erreicht werden kann.

Wichtige Themen aus dem Bereich der vektoriellen Gerade sind:

Beispiel

Bestimme die Gleichung der Gerade durch die Punkte $A(3/1/4)$ und $B(6/1/2)$.

Lösung

Wir verwenden den Punkt $A$ als Ortsvektor und bestimmen den Richtungvektor der Gerade:

$$\vec{v}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
6 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
-2
\end{pmatrix}$$

Einsetzen in die Formel für die Geradengleichung ergibt:

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
-2
\end{pmatrix}$$

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt, wird der Punkt in die Gerade für $\vec{x}$ eingesetzt.
Dies führt dann zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Wenn das Gleichungssystem lösbar ist, liegt der Punkt auf der Gerade.

Beispiel

Gegeben sei die Gerade $g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
4
\end{pmatrix} $. Untersuche, ob der Punkt $P(4/10/9)$ auf der Gerade liegt.
Punkt $P$ für $\vec{x}$ in die Gerade einsetzen:

$$\begin{pmatrix}
4 \\
10 \\
9
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
4
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$4=2+t$$

$$10=4+3t$$

$$9=1+4t$$

Da alle 3 Gleichungen für $t$ den gleichen Wert liefern, nämlich $t=2$, liegt der Punkt auf der Gerade.

Parallele Geraden

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind parallel, wenn sie in die gleiche Richtung verlaufen. Ihre Richtungsvektoren sind dann linear abhängig.

Wenn außerdem der Ortsvektor der Gerade $g$ auf der Gerade $h$ liegt (oder umgekehrt) sind die Geraden identisch.

Beispiel

Untersuche, ob die folgenden Geraden parallel sind:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} $$

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
6 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
7,5 \\
5 \\
2,5
\end{pmatrix}$$
Wir prüfen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dann gibt es eine Zahl $x$, für die gilt:

$$x\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7,5 \\
5 \\
2,5
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$3x=7,5$$

$$2x=5$$

$$1x=2,5$$

Alle 3 Gleichungen liefern $x=2,5$. Somit sind die Vektoren linear abhängig und die Geraden parallel.
Nun prüfen wir noch, ob die Geraden identisch sind. Dafür setzen wir den Ortsvektor der Geraden $g$ in die Gerade $h$ ein:

$$\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
6 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
7,5 \\
5 \\
2,5
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$1=2+7,5t$$

$$0=6+5t$$

$$4=1+2,5t$$

Da $t$ nicht in allen Gleichungen den gleichen Wert liefert, liegt der Ortsvektor der Gerade $g$ nicht auf der Gerade $h$.

Die Geraden sind also parallel aber nicht identisch.

Schnittpunkt

Der Schnittpunkt von zwei Geraden wird bestimmt, indem die Geraden gleichgesetzt werden. Dies führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Wenn das Gleichungssystem lösbar ist, gibt es einen Schnittpunkt.

Beispiel

Berechne den Schnittpunkt der folgenden Geraden:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix} $$

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}$$
Gleichsetzen der Geraden:

$$\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$3-s=2-2t$$

$$2+2s=1+t$$

$$4s=4t$$

Wir stellen die 1. Gleichung nach $s$ um und erhalten:

$$s=1+2t$$

Einsetzen in die 2. Gleichung:

$$2+2(1+2t)=1+t$$

Gleichung nach $t$ umstellen:

$$2+2+4t=1+t$$

$$4+4t=1+t$$

$$3t=-3$$

$$t=-1$$

Mit dem Wert für $t$ können wir $s$ berechnen:

$$s=1+2\cdot(-1)=-1$$

Wir erhalten somit:

$$s=-1, t=-1$$

Beide Werte in die 3. Gleichung einsetzen und prüfen, ob sich ein Widerspruch ergibt:

$$4\cdot(-1)=4\cdot(-1)$$

$$-4=-4$$

Da sich hier kein Widerspruch ergibt, schneiden die beiden Geraden sich.

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzen wir $t=-1$ in die Gerade oben für $t$ ein:

$$\vec{S}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
-4
\end{pmatrix}$$

Windschiefe Geraden

Windschiefe Geraden sind weder parallel, noch haben sie einen Schnittpunkt. Sie laufen im 3-dimensionalen Raum aneinander vorbei.
Um zu untersuchen, ob zwei Geraden windschief sind, werden die Geraden gleichgesetzt und das entstandene Gleichungssystem auf Lösbarkeit überprüft. Ist das Gleichungssystem nicht lösbar, sind die Geraden windschief.

Beispiel

Untersuche, ob die folgenden Geraden $g$ und $h$ windschief sind.

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
6 \\
1
\end{pmatrix} $$

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
8
\end{pmatrix} $$
Die Geraden sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.

Geraden gleichsetzen:

$$\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
6 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
8
\end{pmatrix}$$

Gleichungssystem aufstellen:

$$2+2s=2t$$

$$1+6s=3+3t$$

$$5+s=1+8t$$

1. Gleichung nach $s$ umstellen ergibt:

$$s=t-1$$

Einsetzen in die 2. Gleichung:

$$1+6(t-1)=3+3t$$

Gleichung nach $t$ umstellen:

$$1+6t-6=3+3t$$

$$-5+6t=3+3t$$

$$3t=8$$

$$t=2,67$$

Mit diesem Wert können wir $s$ berechnen:

$$s=2,67-1=1,67$$

Zum Schluss werden $s$ und $t$ in die 3. Gleichung oben eingesetzt:

$$5+1,67=1+8\cdot2,67$$

$$6,67=22,36$$

Aus diesem Widerspruch folgt, dass die Geraden windschief sind.

Schnittwinkel

Der Schnittwinkel von zwei Geraden kann nur bestimmt werden, wenn die Geraden einen Schnittpunkt aufweisen. In diesem Fall entspricht der Schnittwinkel dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden. Dieser wird mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet.

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