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Ebenen umrechnen

Es gibt verschiedene Ebenen-Formen, die umgerechnet werden können. Folgende Umrechnungen sind möglich:

Parameterform in Normalenform

Eine Ebene in Parameterform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Formel für eine Ebene in Parameterform lautet:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Eine Ebene in Normalenform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und einen Normalenvektor. Die Formel für eine Ebene in Normalenform ist:

$$E:\left[\vec{x}-\vec{A}\right]\cdot\vec{n}=0$$

Der Ortsvektor $\vec{A}$ kann direkt aus der Ebene in Parameterform übernommen werden. Der Normalenvektor $\vec{n}$ wird berechnet, indem das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren gebildet wird.

Beispiel

Gegeben ist die folgende Ebene in Parameterform:

$$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix} $$

Berechne eine Normalenform der Ebene.

Um den Normalenvektor der Ebene zu bestimmen, berechnen wir das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-9 \\
18 \\
-9
\end{pmatrix}$$

Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene. Das Skalarprodukt dieses Vektors mit den Richtungsvektoren ergibt null:

$$\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-9 \\
18 \\
-9
\end{pmatrix}=0$$

$$\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-9 \\
18 \\
-9
\end{pmatrix}=0$$

Wir setzen den Ortsvektor der Ebene in Parameterform und den Normalenvektor in die Ebenengleichung für die Normalenform ein:

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
4
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
-9 \\
18 \\
-9
\end{pmatrix}=0 $$

Parameterform in Koordinatenform

Eine Ebene in Parameterform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Formel ist:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Eine Ebene in Koordinatenform wird dargestellt, durch eine lineare Gleichung mit 3 Unbekannten. Die Formel ist:

$$E:ax+by+cz=d$$

Die Parameter $a,b,c$ sind Einträge eines Normalenvektors der Ebene. Dieser wird berechnet, indem das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmt wird. Um den Parameter $d$ zu bestimmen, wird der Ortsvektor der Ebene in Parameterform, in die Formel für die Ebene in Koordinatenform eingesetzt.

Koordinatenform in Parameterform

Eine Ebene inKoordinatenform wird dargestellt, durch eine lineare Gleichung mit 3 Unbekannten. Die Formel ist:

$$ax+by+cz=d$$

Eine Ebene in Parameterform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Die Formel für eine Ebene in Parameterform lautet:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Um eine Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln, wird die Gleichung der Ebene z.b nach $z$ umgestellt. Der Trick ist nun, dass man die Unbekannten $x$ und $y$ durch die Parameter $s$ und $t$ ersetzt (siehe Beispiel).

Beispiel

Gegeben ist die folgende Ebene in Koordinatenform:

$$E:2x-4y+2z=8$$

Bestimme eine Parameterform der Ebene.

Die allgemeine Parameterform lautet:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Wir stellen die Ebene in Koordinatenform z.b nach $z$ um und erhalten:

$$z=4-x+2y$$

Nun setzen wir $x=s$ und $y=t$.

Der Trick ist jetzt, dass wir folgendes schreiben können:

$$x=0+1s+0t$$

$$y=0+0s+1t$$

$$z=4-1s+2t$$

Die Ebene in Parameterform lautet dann:

$$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
2
\end{pmatrix} $$

Normalenform in Koordinatenform

Eine Ebene in Normalenform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und einen Normalenvektor der Ebene. Die Formel ist:

$$E:\left[\vec{x}-\vec{A}\right]\cdot\vec{n}=0$$

Eine Ebene in Koordinatenform wird durch eine lineare Gleichung mit 3 Unbekannten dargestellt. Die Formel ist:

$$E:ax+by+cz=d$$

Der Normalenvektor kann direkt aus der Ebene in Normalenform übernommen werden. Um den Parameter $d$ zu bestimmen, wird der Ortsvektor der Ebene in Normalenform in die Formel für die Ebene in Koordinatenform eingesetzt.

Beispiel

Gegeben ist folgende Ebene in Normalenform:

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}=0 $$

Berechne eine Koordinatenform dieser Ebene.

Wir schreiben die Ebene in Normalenform etwas genauer als:

$$E:\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}=0$$

Nun fassen wir die Vektoren in der großen Klammer zusammen und erhalten:

$$E:\begin{pmatrix}
x-1 \\
y-2 \\
z-3
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}=0$$

Skalarprodukt der Vektoren ergibt:

$$E:(x-1)\cdot4+(y-2)\cdot3+(z-3)\cdot2=0$$

Klammern auflösen:

$$E:4x-4+3y-6+2z-6=0$$

Terme zusammenfassen ergibt die Ebene in Koordinatenform:

$$4x+3y+2z=16$$

Koordinatenform in Normalenform

Eine Ebene in Koordinatenform wird dargestellt, durch eine lineare Gleichung mit 3 Unbekannten. Die Formel ist:

$$ax+by+cz=d$$

Eine Ebene in Normalenform wird dargestellt, durch einen Ortsvektor und einen Normalenvektor der Ebene. Die Formel ist:

$$E:\left[\vec{x}-\vec{A}\right]\cdot\vec{n}=0$$

Um die Koordinatenform in die Normalenform umzuwandeln, wird ein Punkt der Ebene und ein Normalenvektor benötigt.
Der Normalenvektor kann direkt abgelesen werden. Dieser besteht aus den Parametern $a,b,c$.
Um einen Punkt der Ebene zu ermitteln, werden beliebige Werte für $x$ und $y$ in die Koordinatenform eingesetzt und damit der z-Wert des Punktes berechnet.

Beispiel

Gegeben sei die folgende Ebene in Koordinatenform:

$$E:2x-4y+2z=8$$

Berechne eine Normalenform der Ebene.
Eine Ebene in Normalenform hat die Formel:

$$E:\left[\vec{x}-\vec{A} \right]\cdot\vec{n}=0 $$

Den Normalenvektor $\vec{n}$ können wir an der Koordinatenform ablesen:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
2 \\
-4 \\
2
\end{pmatrix} $$

Nun benötigen wir noch einen Punkt aus der Ebene. Dazu setzen wir in der Koordinatenform $x=0$ und $y=0$.

Wir erhalten dann:

$$2z=8$$
$$z=4$$

Somit liegt der Punkt $(0/0/4)$ in der Ebene.

Wir setzen den Punkt und den Normalenvektor in die Formel ein und erhalten die Ebene in Normalenform:

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
4
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
-4 \\
2
\end{pmatrix}=0$$

Normalenform in Parameterform

Um eine Ebene von der Normalenform in die Parameterform umzurechnen, werden folgende Schritte durchgeführt:

1. Ebene von der Normalenform in die Koordinatenform umwandeln
2. Dann die Ebene von der Koordinatenform in die Parameterform umwandeln.

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