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Ebene

Eine Ebene stellt man sich wie ein unendlich großes Blatt Papier im Raum vor. Sie ist eine Menge von unendlichen vielen Punkt im Raum, die alle in dieser Ebene liegen.

Wichtige Themen aus dem Berech der Ebene sind:

Ebene in Parameterform

Eine Ebene in Parameterform wird durch einen Ortsvektor $\vec{A}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ dargestellt.

Die Formel für eine Ebene in Parameterform ist:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Eine Ebene ist immer unendlich groß bzw. enthält immer unendlich viele Punkte. Die Parameter $s$ und $t$ dienen dazu, die Richtungsvektoren beliebig zu verlängern oder zu verkürzen. So kann jeder Punkt der Ebene erreicht werden.

Beispiel

Bestimme eine Ebene in Parameterform durch die 3 Punkte $A(1/2/4)$, $B(2/1/2)$ und $C(8/3/0)$.

Formel für die Ebene in Parameterform:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$$

Aufstellen der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$:

$$\vec{u}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix} $$

$$\vec{v}=\vec{C}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
8 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
1 \\
-4
\end{pmatrix} $$

Punkt $A$ und Richtungsvektoren in die Formel einsetzen ergibt die Gleichung der Ebene:

$$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
7 \\
1 \\
-4
\end{pmatrix}$$

Normalenvektor

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht zur Ebene.

Wenn eine Ebene in Parameterform gegeben ist, wird der Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmt.
Ist die Ebene in Normalenform oder Koordinatenform gegeben, lässt sich der Normalenvektor direkt ablesen.

Ebene in Normalenform

Eine Ebene in Normalenform wird durch einen Ortsvektor $\vec{A}$ und einen Normalenvektor $\vec{n}$ eindeutig festgelegt. Die Ebene in Normalenform lautet allgemein:

$$E:\left[\vec{x}-\vec{A} \right]\cdot\vec{n}=0 $$

Für $\vec{x}$ kann ein beliebiger Punkt eingesetzt werden. Wenn dann der Vektor $\vec{x}-\vec{A}$ mit dem Normalenvektor ein Skalarprodukt von 0 bildet, gehört der Punkt zur Ebene.

Beispiel

Gegeben ist folgende Ebene in Normalenform:

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}=0 $$

Prüfe, ob der Punkt $P(1/2/0)$ in der Ebene liegt.

Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, wird der Punkt für $\vec{x}$ eingesetzt:

$$E:\left[\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}=0$$

Vektoren in der großen Klammer zusammenfassen ergibt:

$$E:\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
-3
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}=0$$

Skalarprodukt berechnen:

$$0\cdot 5+0\cdot 1+(-3)\cdot4=-12\neq0$$

Aus diesem Widerspruch folgt, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt.

Ebene in Koordinatenform

Eine Ebene in Koordinatenform wird durch eine lineare Gleichung mit 3 Unbekannten $x,y,z$ dargestellt:

$$E:ax+by+cz=d$$

Die Parameter $a,b,c$ sind Einträge eines Normalenvektors der Ebene.

Beispiel

Bestimme eine Ebene in Koordinatenform durch die Punkte $A(0/9/1)$, $B(2/-1/3)$, $C(4/0/5)$.
Für die Ebene in Koordinantenform benötigen wir einen Punkt der Ebene und einen Normalenvektor. Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.
Aufstellen der Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$:

$$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 \\
9 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
-10 \\
2
\end{pmatrix} $$

$$\vec{AC}=\vec{C}-\vec{A}=\begin{pmatrix}
4 \\
0 \\
5
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 \\
9 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 \\
-9 \\
4
\end{pmatrix}$$

Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ ergibt den Normalenvektor:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
2 \\
-10 \\
2
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
4 \\
-9 \\
4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-22 \\
0\\
22
\end{pmatrix}$$

Normalenvektor in die allgemeine Ebenegleichung einsetzen ergibt:

$$E:-22x+0y+22z=d$$

Um das $d$ zu bestimmen, wird ein Punkt der Ebene eingesetzt, z.B Punkt $A$:

$$-22\cdot0+0\cdot9+22\cdot1=d$$

$$d=1$$

Somit lautet die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte:

$$E:-22x+0y+22z=1$$

Beispiel

Gegeben sei die Ebene $E: 4x+5y-2z=8$. Untersuche, ob der Punkt $P(1/2/6)$ in der Ebene liegt.
Punkt in die Ebene einsetzen:

$$4\cdot1+5\cdot2-2\cdot 6=2\neq8$$

Aus diesem Widerspruch folgt, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt.

Ebene und gerade

Eine Gerade und eine Ebene können parallel sein oder einen Schnittpunkt aufweisen.
Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, kann die Gerade auch innerhalb der Ebene verlaufen.

Beispiel

Berechne den Schnittpunkt folgender Gerade und Ebene:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
5 \\
-3 \\
6
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
0
\end{pmatrix}$$

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
0 \\
5 \\
-1
\end{pmatrix} \right] \cdot\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix}=0$$

Um den Schnittpunkt zu berechnen, wird die Gerade komplett für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt:

$$\left[\begin{pmatrix}
5 \\
-3 \\
6
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 \\
5 \\
-1
\end{pmatrix} \right] \cdot\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix}=0$$

Vektoren zusammenfassen ergibt:

$$\left[\begin{pmatrix}
5 \\
-8 \\
7
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
0
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix}=0 $$

>Skalarprodukt berechnen:

$$(5+5t)\cdot2+(-8+4t)\cdot(-1)+(7+0t)\cdot 3=0$$

Klammern ausmultiplizieren:

$$10+10t+8-4t+21=0$$

Gleichung nach $t$ umstellen:

$$6t=-39$$

$$t=-6,5$$

Wert für $t$ in die Gerade einsetzen ergibt den Schnittpunkt:

$$\vec{S}=\begin{pmatrix}
5 \\
-3 \\
6
\end{pmatrix}+6,5\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
37,5 \\
23 \\
6
\end{pmatrix}$$

Beispiel

Untersuche, ob die folgende Gerade $g$ und Ebene $E$ einen Schnittpunkt aufweisen und berechne diesen.

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix} $$

$$E:2x-4y+2z=8$$

Gerade koordinatenweise in die Ebene einsetzen:

$$2(2+2t)-4(1+t)+2(5+5t)=0$$

Klammern auflösen:

$$4+4t-4-4t+10+10t=0$$

Gleichung zusammenfassen und nach $t$ umstellen:

$$10+10t=0$$

$$10t=-10$$

$$t=-1$$

Da wir für $t$ eine Lösung erhalten, gibt es einen Schnittpunkt.

Zur Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes, setzen wir $t$ in die Gerade ein:

$$\vec{S}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$$

Schnittgerade

Zwei Ebenen, die nicht parallel sind, bilden eine Schnittgerade. Die Gleichung dieser Gerade kann in vektorieller Form angegeben werden.
Um die Schnittgerade zu bestimmen, wird eine der Ebenen in die Koordinatenform umgewandelt und die andere Ebene dort eingesetzt.

Beispiel

Berechne die Schnittgerade der Ebenen $E_1$ und $E_2$ mit:

$$E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
8 \\
-2
\end{pmatrix} $$

$$E_2:2x-4y+2z=8 $$
Einsetzen der Ebene $E_1$ in die Ebene $E_2$:

$$2(1+3s+5t)-4(2+s+8t)+2(4+2s-2t)=8$$

Klammern auflösen:

$$2+6s+10t-8-s-8t+8+4s-4t=8$$

Gleichung zusammenfassen:

$$2+9s-2t=8$$

Gleichung nach $s$ oder $t$ umstellen:

$$t=-3+4,5s$$

Dies setzen wir jetzt oben in die Ebene für $t$ ein:

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}+(-3+4,5s)\cdot\begin{pmatrix}
5 \\
8 \\
-2
\end{pmatrix} $$

Vektoren zusammenfassen ergibt die Schnittgerade der Ebenen:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-15 \\
-24 \\
6
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
22,5 \\
36 \\
-9
\end{pmatrix}$$

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
-14 \\
-22 \\
10
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
25,5 \\
37 \\
-7
\end{pmatrix}$$

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