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Abstand

In der Vektorrechnung kann der Abstand verschiedener Objekte berechnet werden. Dabei wird immer der kürzeste Abstand dieser Objekte berechnet.
Folgende Abstand werden bestimmt:

Abstand zwei Punkte

Der Abstand von zwei Punkten wird berechnet, indem der Vektor zwischen den Punkten bestimmt wird und von diesem der Betrag berechnet wird. Dieser Betrag ist dann der gesuchte Abstand.

Beispiel

Bestimme den Abstand der Punkte $A(2/1/5)$ und $B(3/8/12)$.
Vektor von $A$ nach $B$ berechnen:

$$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{a}=\begin{pmatrix}
3 \\
8 \\
12
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
7 \\
7
\end{pmatrix}$$

Der Betrag des Vektors ist der gesuchte Abstand:

$$|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+7^2+7^2}=\sqrt{99}=9,95$$

Abstand Punkt-Ebene

Um den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu bestimmen, wird die Ebene erst in die Koordinatenform und dann in die Hesse-Normalform gebracht. (Parameterform in Koordinatenform umrechnen)
Der Punkt kann dann einfach in die Hesse-Normalform eingesetzt werden und das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes $P(2/5/1)$ von der Ebene:

$$2x-4y+2z=8$$
Um die Ebene in die Hesse-Normalform umzuwandeln, lesen wir den Normalenvektor der Ebene ab und berechnen seinen Betrag:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
2 \\
-4 \\
2
\end{pmatrix} $$

$$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{24}$$

Hesse-Normalform:

$$HN:\frac{2x-4y+2z-8}{\sqrt{24}}$$

Einsetzen des Punktes $P(2/5/1)$ ergibt den gesuchten Abstand:

$$d=\left|\frac{2\cdot2-4\cdot5+2\cdot1-8}{\sqrt{24}} \right|=|-4,5|=4,5 $$

Der Abstand des Punktes von der Ebene beträgt also $4,5$ Längeneinheiten.

Abstand Ebene-Ebene

Der Abstand zweier Ebenen ist nur definiert, wenn die Ebenen parallel sind. Der Abstand wird berechnet, indem eine der Ebenen in die Koordinatenform gebracht wird und von dort aus in die Hesse-Normalform. In diese wird dann ein beliebiger Punkt der anderen Ebene eingesetzt. Das Ergebnis ist dann der gesuchte Abstand der parallelen Ebenen.

Beispiel

Bestimme den Abstand der folgenden parallelen Ebenen:

$$E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
-1 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} $$

$$E_2:-1x-1y-2z=-5$$
Wir wandeln die Ebene $E_2$ in die Hesse Normalform um.
Dazu lesen wir den Normalenvektor der Ebene $E_2$ ab und berechnen seinen Betrag:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

$$|\vec{n}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-2^2)}=\sqrt{6}$$

Die Hesse-Normalform der Ebene $E_2$ lautet:

$$HN: \frac{-1x-1y-2z+5}{\sqrt{6}}$$

Um den Abstand zu bestimmen, setzen wir einen beliebigen Punkt der Ebene $E_1$ ein.
Wir wählen dazu den Ortsvektor der Ebene $E_1$:

$$d=\left|\frac{-1\cdot2-1\cdot1-2\cdot0+5}{\sqrt{9}} \right|= 0,67$$

Abstand Punkt-Gerade

Um den Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$ zu bestimmen, wird eine Hilfsebene $E$ in Normalenform bestimmt, die senkrecht zu $g$ steht und den Punkt $P$ enthält.
Da diese Ebene senkrecht zu $g$ steht, entspricht der Richtungsvektor von $g$ dem Normalenvektor der Ebene. Als Ortsvektor der Ebene wird der Ortsvektor von $g$ verwendet.
Dann wird der Schnittpunkt von $g$ mit der Hilfsebene bestimmt. Dieser Punkt ist der Lotfußpunkt $L$. Jetzt kann der Vektor zwischen $P$ und $L$ bestimmt werden. Der Betrag dieses Vektors ist der gesuchte Abstand.

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes $P(1/2/5)$ von der Geraden $g$ mit:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
5 \\
-6 \\
-5
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} $$

Wir benötigen eine Hilfsebene in Normalenform, die den Punkt $P$ enthält und senkrecht zur Gerade $g$ steht. Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Richtungsvektor der Gerade:

$$E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=0 $$

Nun müssen wir ermitteln, wo die Gerade die Hilfsebene schneidet. Dazu setzen wir die Gerade dort für $\vec{x}$ ein:

$$\left[\begin{pmatrix}
5 \\
-6 \\
-5
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=0$$

Vektoren zusammenfassen:

$$\begin{pmatrix}
5+2t-1 \\
-6+2t-2 \\
-5+t-5
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=0$$

$$\begin{pmatrix}
4+2t \\
-8+2t \\
-10+t
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=0$$

Skalarprodukt berechnen:

$$(4+2t)\cdot2+(-8+2t)\cdot2+(-10+t)\cdot1=0$$

Zusammenfassen und nach $t$ umstellen:

$$8+4t-16+4t-10+t=0$$

$$-18+9t=0$$

$$9t=18$$

$$t=2$$

Wir setzen $t$ in die Gerade ein, um den Schnittpunkt der Gerade mit der Hilfsebene zu bestimmen:

$$\vec{S}=\begin{pmatrix}
5 \\
-6 \\
-5
\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
9 \\
-2 \\
-3
\end{pmatrix}$$

Nun können wir den Abstandsvektor von der Geraden zum Punkt berechnen:

$$\vec{d}=\vec{S}-\vec{P}=\begin{pmatrix}
9 \\
-2 \\
-3
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
8 \\
-4 \\
-8
\end{pmatrix}$$

Der Betrag des Vektors ist unser gesuchter Abstand:

$$|\vec{d}|=\sqrt{8^2+(-4)^2+(-8)^2}=12$$

Somit beträgt der Abstand des Punktes von der Geraden $12$ Längeneinheiten.

Abstand windschiefe Geraden

Der Abstand von zwei windschiefen Geraden $g$ und $h$ wird berechnet, indem eine Hilfsebene in Normalenform bestimmt wird, die als Ortsvektor den Ortsvektor der Geraden $g$ hat und als Normalenvektor das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von $g$ und $h$.

Diese Ebene wird dann in die Hesse-Normalform umgewandelt und der Ortsvektor der Geraden $h$ eingesetzt. Das Ergebnis ist dann der kürzeste Abstand der windschiefen Geraden.

Beispiel

Wir berechnen den Abstand der folgenden windschiefen Geraden:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix} $$

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix}
6 \\
5 \\
7
\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} $$

Wir berechnen eine Hilfsebene in Normalenform.

Der Ortsvektor dieser Ebene ist der Ortsvektor von $g$ und der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von $g$ und $h$.

Berechnen des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren:

$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\cdot0-1\cdot(-1) \\
1\cdot(-1)-1\cdot0 \\
1\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

Die Hilfsebene lautet somit:

$$H:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}=0 $$

Diese Ebene wandeln wir nun in die Koordinatenform um. Dazu schreiben wir uns die Ebene etwas genauer als:

$$H:\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix} \right]\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}=0 $$

Vektoren zusammenfassen:

$$\begin{pmatrix}
1x \\
2y \\
0
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}=0$$

Skalarprodukt berechnen:

$$1x\cdot1+2y\cdot(-1)+0\cdot(-2)=0$$

Gleichung zusammenfassen:

$$1x-2y=0$$

Nun stellen wir die Hesse-Normalform der Ebene auf. Dazu lesen wir den Normalenvektor ab und berechnen seinen Betrag:

$$\vec{n}=\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
0
\end{pmatrix}$$

$$|\vec{n}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{5}$$

Diese Hesse-Normalform lautet somit:

$$HN:\frac{1x-2y+0z}{\sqrt{5}}$$

Ortsvektor der Gerade $h$ einsetzen ergibt den gesuchten Abstand:

$$d=\left| \frac{1\cdot6-2\cdot5+0\cdot7}{\sqrt{5}}\right|=|-1,79|=1,79 $$

Der kürzeste Abstand der windschiefen Geraden beträgt also $1,79$ Längeneinheiten.

Abstand Gerade-Ebene

Der Abstand einer parallelen Gerade und Ebene wird zurückgeführt auf die Berechnung des Abstandes von einem Punkt zur Ebene. Als Punkt wird dann der Ortsvektor der Gerade verwendet.

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