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Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem nicht feststeht, ob ein Ereignis eintritt oder nicht. Man kennt zwar alle möglichen Ereignisse des Zufallsexperiments, aber welches davon genau eintritt ist vom Zufall abhängig.
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wird zuerst die Ereignismenge $E$ aufgestellt und dieser Ereignismenge dann eine Wahrscheinlichkeit $P(E)$ zugeordnet.

Beispiel

In einer Urne liegen $8$ rote, $12$ blaue und $4$ gelbe Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Kugeln blau ?

Das Ereignis drei blaue Kugeln zu ziehen ist:

$$E:\left\lbrace (BBB) \right\rbrace $$

Im ersten Zug sind 12 von 24 Kugeln blau. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, sind es im nächsten Zug noch 11 von 23 und im dritten Zug 10 von 22 Kugeln.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:

$$P(E)=\frac{12}{24}\cdot\frac{11}{23}\cdot\frac{10}{22}=0,11$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $11\%$.

Beispiel

In einer Urne liegen $5$ rote, $7$ blaue und $3$ gelbe Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist genau eine der Kugeln blau ?

Hier besteht die Ereignismenge aus mehreren Ergebnissen, je nachdem in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden.
Die Ereignismenge ist:

$$E:\left\lbrace(BR),(RB),(BG),(GB) \right\rbrace $$

Hier muss bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit beachtet werden, dass die erste Kugel nicht wieder zurückgelegt wird:

$$P(E)=\frac{7}{15}\cdot\frac{5}{14}+\frac{5}{15}\cdot\frac{7}{14}+\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{14}+\frac{3}{15}\cdot\frac{7}{14}=0,533$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $53,3\%$.

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