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Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des Ereignisses $A$, nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis $B$ beeinflusst.

Definition:

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse. $B$ ist stochastisch unabhängig von $A$, falls gilt:

$$P_A(B)=P(B)$$

Dabei ist $P_A(B)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $B$, unter der Voraussetzung, das $A$ bereits eingetreten ist.

$P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $B$.

Beispiel

In einer Urne liegen 10 Kugeln, die von 1 bis 10 nummeriert sind. Es wird eine Kugel gezogen und folgende Ereignisse definiert:

$A:$ Die Nummer der gezogenen Kugel ist durch $2$ teilbar.

$B:$ Die Nummer der gezogenen Kugel ist durch $3$ teilbar.

Untersuche, ob die Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig von einander sind.

Dazu berechnen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ mit dem Satz von Bayes:

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Die Ereignisse $A$, $B$, $A\cap B$ sind:

$$A=\left\lbrace 2,4,6,8,10\right\rbrace $$

$$B=\left\lbrace3,6,9 \right\rbrace $$

$$A\cap B=\left\lbrace 6\right\rbrace $$

($A\cap B$ ist die Schnittmenge von $A$ und $B$)

Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse sind:

$$P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=0,5$$

$$P(B)=\frac{3}{10}=0,3$$

$$P(A\cap B)=\frac{1}{10}=0,1$$

Wir setzen die Ergebnisse in die Formel von Bayes ein und erhalten:

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,1}{0,5}=0,2$$

Es gilt also:

$$P_A(B)\neq P(B)$$

Das bedeutet, dass die Ereignisse stochastisch abhängig von einander sind. Wenn wir eine Kugel mit einer geraden Nummer ziehen, beeinflusst dies die Wahrscheinlichkeit, dass diese Nummer auch durch $3$ teilbar ist.

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