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Sigma-Umgebung

Eine $\sigma$-Umgebung ist ein vorgegebener Bereich um den Erwartungswert $\mu$ einer Zufallsgröße. Bei der einfachen $\sigma$-Umgebung wird ein Bereich um den Erwartungswert gelegt, in den man mit einer festen Wahrscheinlichkeit von 68,3% fällt. Die Grenzen dieses Bereiches können mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung berechnet werden.

Umgebungswahrscheinlichkeiten

Die Trefferwahrscheinlichkeit für jeden Bereich ist fest vorgegeben. Die Intervallgrenzen sind immer unterschiedlich, abhängig davon, wo der Erwartungswert ist und wie stark die Streuung der Zufallsgröße ist.


Die am meisten verwendeten $\sigma$-Umgebungen sind:

$$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)=0,683$$

$$P(\mu-2\cdot\sigma\leq X\leq \mu+2\cdot\sigma)=0,955$$

$$P(\mu-3\cdot\sigma\leq X\leq \mu+3\cdot\sigma)=0,997$$

oder

$$P(\mu-1,64\cdot\sigma\leq X\leq \mu+1,64\cdot\sigma)=0,9$$

$$P(\mu-1,96\cdot\sigma\leq X\leq \mu+1,96\cdot\sigma)=0,95$$

$$P(\mu-2,58\cdot\sigma\leq X\leq \mu+2,58\cdot\sigma)=0,99$$

Für andere $\sigma$-Umgebungen gibt es auch Tabellen wo die Werte nachgeschaut werden können.

Beispiel

Ein Würfel wird $80$ mal geworfen und die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Sechsen an. Bereche die $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert.

Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen:

$$n=80, p=\frac{1}{6}$$

Wir berechnen den Erwartungswert und die Standardabweichung:

$$\mu=n\cdot p=80\cdot\frac{1}{6}=13,33$$

$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{80\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(1-\frac{1}{6} \right) }=3,33$$

Wir können also bei $80$ Würfen mit etwa $13$ Sechsen rechnen und das Ergebnis wird im Durchschnitt um etwa $3$ Sechsen abweichen.

Angenommen wir möchten nun mit $95,5\%$ Wahrscheinlichkeit sagen, in welchem Bereich die Anzahl der Sechsen liegt.

Dann nehmen wir dafür die $2\sigma$- Umgebung:

$$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)=0,955$$

Wir setzen $\mu$ und $\sigma$ ein und erhalten:

$$P(13,33-2\cdot 3,33\leq X\leq 13,33+2\cdot 3,33)$$

$$=P(6,67\leq X\leq 20)$$

Wir können also mit $95,5\%$ Wahrscheinlichkeit annehmen, dass die Anzahl der Sechsen zwischen $7$ und $20$ liegen wird.

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