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Normalverteilung

Wenn bei der Binomialverteilung das $n$ sehr groß ist, wird zur Annäherung der Wahrscheinlichkeit die Normalverteilung verwendet. Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung angenährt werden, wenn $\sigma\geq3$ gilt.

Es muss also gelten:

$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\geq 3$$

Diese Bedingungen nennt man auch Laplace-Bedingung.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Die Funktionsgleichung (Dichtefunktion) der Normalverteilung, auch bekannt als die „Gauß’sche Glockenkurve“, lautet:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Die Integralfunktion der Dichtefunktion nennt man Verteilungsfunktion:

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt$$

In der Schule wird man aber nicht oft direkt mit den Funktionsgleichungen rechnen, da dies vor allem Taschenrechner übernehmen werden.

Standardnormalverteilung

Von der Standardnormalverteilung spricht man, wenn der Erwartungswert $\mu=0$ und die Standardabweichung $\sigma=1$ gilt. Die Funktion ist dann symmetrisch zur y-Achse. Wenn diese Werte in die Dichtefunktion eingesetzt werden ergibt dies:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$$

und für die Verteilungsfunktion:

$$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi\left(\frac{x-\mu+0,5}{\sigma}\right)$$

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit $\Phi$ bezeichnet. Der griechische Buchstabe „Phi“. Die Zahl 0,5 ist die sogenannte Stetigkeitskorrektur.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Die Wahrscheinlichkeit bei der Normalverteilung ist immer eine Fläche unter dem Funktionsgraphen. Da es allerdings nicht möglich ist ein Integral dieser Funktion zu bestimmen, werden Näherungswerte für die Fläche verwendet. Diese Werte entnimmt man aus der Tabelle für die Normalverteilung.

Beispiel

Eine Firma produziert Bauteile, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% defekt sind. Aus der Produktion wird eine Stichprobe von 1500 Bauteilen entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 280 Bauteile defekt ?
Um die Wahrscheinlichkeit nun mit der Standardnormalverteilung zu berechnen, benötigen wir den Erwartungswert und die Standardabweichung. Diese lauten:

$$\mu=n\cdot p=1500\cdot\frac{20}{100}=300$$

$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500\cdot0,2\cdot(1-0,2)}=15,49$$

Einsetzen in die Formel für die Standardnormalverteilung:

$$P(X\leq 280)=\Phi\left( \frac{280-300+0,5}{15,49}\right)$$

$$=\Phi(-1,29)=0,098 $$

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $280$ Bauteile defekt sind, beträgt also $9,8\%$.

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