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Hypothesentest

Bei einem Hypothesentest wird eine Vermutung durch eine Stichprobe entweder angenommen oder verworfen. Wenn z.B ein Würfel 100 mal geworfen wird und man 90 Sechsen erhält, wird man davon ausgehen, dass der Würfel nicht in Ordnung ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem korrekten Würfel 90 Sechsen würfelt, ist nämlich sehr gering. Aber wie ist es, wenn man 15 oder oder 25 Sechsen würfelt? Welche Aussage lässt sich dann über die Korrektheit des Würfels treffen ?

Der Erwartungswert für die Anzahl der Sechsen beträgt:

$$\mu=n\cdot p=100\cdot\frac{1}{6}\approx17$$

Wenn der Würfel in Ordnung ist, wird die Anzahl der Sechsen bei 100 Würfen also in einem Bereich um die 17 liegen. Dieser Bereich kann unterschiedlich groß gewählt werden, nämlich abhängig davon, welche $\sigma$-Umgebung verwendet wird. Diese ist meist vorgegeben durch die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) z.b mit 5% vorgegeben wird, muss die 95%-$\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert bestimmt werden. Diesen Bereich nennt man auch den Annahmebereich für die Nullhypothese.

Die Aussage „Der Würfel ist in Ordnung“ wird als Nullhypothese $H_0$ bezeichnet. Diese trifft zu, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs $p=\frac{1}{6}$ beträgt, denn dann ist der Würfel in Ordnung.
Die Nullhypothese lautet also:

$$H_0: p=\frac{1}{6}$$

Die Alternativ-Hypothese $H_1$ ist das Gegenteil der Nullhypothese, also das der Würfel nicht in Ordnung ist.

Es gilt dann:

$$H_1: p\neq\frac{1}{6}$$

Wenn also die Anzahl der Sechsen im vorgegebenen $\sigma$-Intervall liegt, wird die Nullhypothese angenommen und der Würfel ist in Ordnung.

Beispiel

Bei der Produktion von Bauteilen werden stündlich 90 Bauteile geprüft und festgestellt, dass von diesen höchstens $8\%$ defekt sind.
Wie viele defekte Bauteile dürfen bei einer Prüfung höchstens gefunden werden, damit man davon ausgehen kann, dass sich die Ausschussrate nicht verschlechtert hat ?
(Irrtumswahrscheinlichkeit $5\%$)

Zuerst stellen wir die Nullhypothese auf. Das ist die Annahmewahrscheinlichkeit von $8\%$, dass ein Bauteil defekt ist.

Nullhypothese $H_0:8\%=0,08$

Nun berechnen wir den Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$:

$$\mu=n\cdot p$$

$$\mu=90\cdot0,08=7,2$$

$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$$

$$\sigma=\sqrt{90\cdot 0,8\cdot(1-0,8)}=3,8$$

Man kann also erwarten, dass von 90 Bauteilen 7,2 defekt sind. Im Mittel wird das Ergebnis um 3,8 abweichen.

Da wir hier eine Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ gegeben haben bzw. einen Annahmebereich von $95\%$, benötigen wir die $1,96\sigma$-Umgebung (Tabelle).

Das Intervall lautet:

$$\left[ \mu-1,96\cdot\sigma,\mu+1,96\cdot\sigma\right] $$

$$=\left[ 7,2-1,96\cdot3,8, 7,2+1,96\cdot3,8\right]=\left[ 0,15\right] $$

Somit wird die Nullhypothese angenommen, wenn höchstens 15 Bauteile defekt sind bzw. die Nullhypothese wird verworfen, wenn es mehr als 15 sind.

Es kann allerdings passieren, dass die Nullhypothese zu unrecht verworfen wird (5\%). Dies nennt man einen Fehler 1. Art. Wird die Nullhypothese zu unrecht beibehalten, nennt man dies einen Fehler 2. Art.

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