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Binomialverteilung

Eine binomialverteilte Zufallsgröße kann zwei Zustände annehmen, wie z.B beim Würfeln eine Sechs oder keine Sechs zu würfeln. Desweiteren bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich.
Die allgemeine Formel für die Binomialverteilung lautet:

$$P(X=k)=\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} $$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Würfe und $k$ die Anzahl der Treffer.


Die Formel für die kumulierte Binomialverteilung lautet:

$$P(X\leq k)=\sum_{0}^{k}\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} $$

Diese Formel wird verwendet, wenn in der Aufgabe das Wort „mindestens“ oder „höchstens“ steht, da hier mehrere Wahrscheinlichkeiten aufaddiert werden müssen.

Beispiel

Eine Münze wird $15$ mal geworden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt genau $5$ mal Wappen vor ?

Wir lesen aus der Aufgabe heraus:

$$n=15, k=5$$

Die Wahrscheinlichkeit für Wappen beträgt $\frac{1}{2}$.

Einsetzen in die Formel ergibt:

$$P(X=5)=\begin{pmatrix}
15 \\
5
\end{pmatrix}\cdot \left( \frac{1}{3}\right) ^5\cdot\left( 1-\frac{1}{2}\right) ^{15-5}=0,463$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $46,3\%$.

Beispiel

In einer Urne liegen 8 rote und 12 blaue Kugeln. Es werden 5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit genau 3 rote Kugeln zu ziehen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der gezogen Kugeln an. $X$ ist binomialverteilt, weil $X$ nur zwei Zustände annehmen kann, entweder eine rote Kugel oder keine rote Kugel.

Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen:

$$n=5, k=3, p=\frac{8}{20}$$

Einsetzen in die Formel für die Binomialverteilung ergibt:

$$P(X=3)=\begin{pmatrix}
5 \\
3
\end{pmatrix}\cdot\left( \frac{8}{20}\right)^3\cdot\left(1-\frac{8}{20} \right)^2=0,23 $$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also 23%.

Beispiel

Ein Würfel wird $25$ mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt mindestens $5$ mal die Sechs ?

Hier handelt es sich um die kumulierte Binomialverteilung, da hier die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll, dass man 5 (oder mehr) Sechsen erhält.

$$n=25, k=5, p=\frac{1}{6}$$

Die zu berechnende Wahrscheinlichkeit ist:

$$P(X\geq5)$$

Die meisten Taschenrechner können nur mit $\leq$ rechnen, deswegen wird die Formel über die Gegenwahrscheinlichkeit umgedreht:

$$P(X\geq5)=1-P(X\leq4)$$

$$=1-\sum_{0}^{4}\begin{pmatrix}
25 \\
4
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^k\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)^{25-k}=0.592$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 59,2%.

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