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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Als bedingte Wahrscheinlichkeit, bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $B$, unter der Voraussetzung, dass ein Ereignis $A$ schon vorher eingetreten ist. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit schreibt man dann als:

$$P_A(B)$$

und sagt: Die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Voraussetzung $A$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird mit dem Satz von Bayes bestimmt. Die Formel ist:

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Beispiel

Eine Urne enthält 60 Kugeln. 20 Kugeln sind aus Metall und 40 aus Plastik. Von den Metallkugeln sind 10 Kugeln blau und 50 Kugeln gelb. Von den Plastikugeln sind 15 blau und 25 gelb.

Wir definieren aus der Aufgabenstellung folgende Ereignisse:

    1. $A:$ Die Kugel ist aus Metall
    2. $\overline{A}:$ Die Kugel ist aus Plastik
    3. $B:$ Die Kugel ist blau
    4. $\overline{B}:$ Die Kugel ist gelb

Diesen Zusammenhang stellen wir in einer Vierfeldertafel dar:

Blau Gelb Summe
Metall 10 10 20
Plastik 15 25 40
Summe 25 35 60

Wir können nun z.B die Wahrscheinlichkeit berechnen eine Kugel zu ziehen, die aus Plastik besteht und blau ist:

$$P(\overline{A}\cap B)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet nun folgendes:

Man greift in die Urne und spürt, dass die Kugel aus Metall ($A$) ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie gelb ($\overline{B}$) ?
Hier berechnen wir also die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel unter der Voraussetzung, dass sie aus Metall ist.

Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit:

$$P_A(\overline{B})$$

und sagen dazu: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\overline{B}$ unter der Voraussetzung $A$.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann nicht aus der Vierfeldertafel heraus gelesen werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes:

$$P_{A}(\overline{B})=\frac{A\cap\overline{B}}{P(A)}$$

Die Wahrscheinlichkeit von $P_A(\overline{B})$ war:

$$P(\overline{A}\cap B)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}=0,25$$

$P(A)$ ist (Vierfeldertafel):

$$P(A)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}=0,33$$

Einsetzen in die Formel (Satz von Bayes):

$$P_{A}(\overline{B})=\frac{0,25}{0,33}=0,76$$

Die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel zu ziehen, unter der Voraussetzung das sie aus Metall ist, lautet also:

$$P_{A}(\overline{B})=0,76=76\%$$

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