Beispiel

Eine Urne enthält 60 Kugeln. 20 Kugeln sind aus Metall und 40 aus Plastik. Von den Metallkugeln sind 10 Kugeln blau und 50 Kugeln gelb. Von den Plastikugeln sind 15 blau und 25 gelb.

Wir definieren aus der Aufgabenstellung folgende Ereignisse:

1. 1. $A:$ Die Kugel ist aus Metall
   2. $\overline{A}:$ Die Kugel ist aus Plastik
   3. $B:$ Die Kugel ist blau
   4. $\overline{B}:$ Die Kugel ist gelb

Diesen Zusammenhang stellen wir in einer Vierfeldertafel dar:

Wir können nun z.B die Wahrscheinlichkeit berechnen eine Kugel zu ziehen, die aus Plastik besteht und blau ist:

$$P(\overline{A}\cap B)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet nun folgendes:

Man greift in die Urne und spürt, dass die Kugel aus Metall ($A$) ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie gelb ($\overline{B}$) ?
Hier berechnen wir also die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel unter der Voraussetzung, dass sie aus Metall ist.

Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit:

$$P_A(\overline{B})$$

und sagen dazu: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\overline{B}$ unter der Voraussetzung $A$.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann nicht aus der Vierfeldertafel heraus gelesen werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes:

$$P_{A}(\overline{B})=\frac{A\cap\overline{B}}{P(A)}$$

Die Wahrscheinlichkeit von $P_A(\overline{B})$ war:

$$P(\overline{A}\cap B)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}=0,25$$

$P(A)$ ist (Vierfeldertafel):

$$P(A)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}=0,33$$

Einsetzen in die Formel (Satz von Bayes):

$$P_{A}(\overline{B})=\frac{0,25}{0,33}=0,76$$

Die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel zu ziehen, unter der Voraussetzung das sie aus Metall ist, lautet also:

$$P_{A}(\overline{B})=0,76=76\%$$