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Quadratische Funktion

Quadratische Funktionen (Parabeln) sind alle Funktionen, in denen die größte Potenz der Funktion $x^2$ ist. Parabeln können in der Normalform oder in der Scheitelpunktform vorliegen.
Wichtige Punkte von quadratischen Funktionen sind die Nullstellen, der Scheitelpunkt und der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Normalform

Eine Parabel in Normalform ist z.B:

$$f(x)=2x^2-4x+2$$

Die allgemeine Gleichung lautet:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Die Zahl $a$ bestimmt die Streckung/Stauchung der Parabel. Wenn $a$ zwischen $-1$ und $1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht (breiter). Für $a<-1$ oder $a>1$ ist die Parabel gestreckt (schmaler). Wenn $a>0$ ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet und für $a<0$ nach unten geöffnet.

Die Zahl $b$ hat Einfluss auf die Verschiebung nach rechts und links entlang der x-Achse.
An der Zahl $c$ kann die Verschiebung in y-Richtung abgelesen werden.

Scheitelpunktform

Eine Parabel in Scheitelpunktform sieht z.B so aus:

$$f(x)=2\cdot(x+4)^2-5$$

Die allgemeine Gleichung lautet:

$$f(x)=a\cdot(x+b)^2+c$$

Das $a$ hat die gleichen Eigenschaften wie bei der Normalform.
An den Zahlen $b$ und $c$ lässt sich der Scheitelpunkt ablesen. Dieser liegt bei $S(-b/c)$.

Nullstellen

Die Nullstellen einer Parabel sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Man spricht von Nullstellen, weil y in diesen Punkten null ist.
Eine Parabel kann zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine Nullstellen aufweisen. Je nachdem, ob die Parabel die x-Achse schneidet oder über/unter ihr verläuft. Die Parabel hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

Um die Nullstellen von Parabeln zu bestimmen, wird die pq-Formel verwendet:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

Beispiel

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+4x-2$.
Wir schreiben uns $p$ und $q$ aus der Funktion heraus. $p$ ist die Zahl vor dem $x$ und $q$ die Zahl ganz hinten:

$$p=4, q=-2$$

Einsetzen in die pq-Formel ergibt:

$$x_{1,2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-(-2)}$$

Dies kann noch vereinfacht werden zu:

$$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{8}$$

Als Lösungen erhalten wir:

$$x_1=0,83$$

$$x_2=-4,83$$

Wenn die hintere Zahl der Parabel 0 ist, können die Nullstellen mit der pq-Formel oder durch ausklammern bestimmt werden.

Beispiel

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2-4x$.
Funktion null setzen:

$$x^2-4x=0$$

Hier wird $x$ ausgeklammert:

$$x\cdot(x-4)=0$$

Für das linke $x$ kann null eingesetzt werden und die Gleichung ist gelöst. Somit liegt die erste Nullstelle bei:

$$x_1=0$$

Jetzt muss noch die Klammer null gesetzt werden:

$$x-4=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$x_2=4$$

Somit liegen die Nullstellen bei $N_1(0/0)$ und $N_2(4/0)$.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel. Ist die Parabel in Scheitelpunktform gegeben, kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden.

Beispiel

Gegeben ist eine Parabel in Scheitelpunktform mit $f(x)=(x+8)^2+3$. Wie lautet der Scheitelpunkt?
Der Scheitelpunkt kann hier direkt abgelesen werden. Er liegt bei $S(-8/3)$.
Hier muss immer darauf geachtet werden, dass das Vorzeichen vom x-Wert umgedreht wird.

Ist die Parabel in Normalform gegeben, wird sie mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform gebracht.

Beispiel

Berechne den Scheitelpunkt der Funktion: $f(x)=x^2-6x+2$.
Anwendung der quadratischen Ergänzung:

$$f(x)=x^2-6x+(3^2-3^2)+2$$

Nun können wir die Scheitelpunktform aufstellen:

$$f(x)=(x-3)^2-3^2+2$$

Zusammenfassen ergibt:

$$f(x)=(x-3)^2-7$$

Der Scheitelpunkt liegt also bei $S(3/-7)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, wird 0 in die Funktion eingesetzt, da der x-Wert in diesem Punkt 0 ist.

Beispiel

Bestimme den Schnittpunkt der Funktion $f(x)=4x^2-8x+6$ mit der y-Achse.
Wir setzen 0 in die Funktion ein:

$$f(0)=4\cdot0^2-8\cdot0+6=6$$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt also bei $S_y(0/6)$.

Auch wenn die Parabel in Scheitelpunktform gegeben ist, wird 0 für x eingesetzt.

Beispiel

Bestimme den Schnittpunkt der Funktion $f(x)=3\cdot(x-2)^2+1$ mit der y-Achse.
Wir berechnen:

$$f(0)=3\cdot(0-2)^2+1=-5$$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt also bei $S_y(0/-5)$.

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