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Tangente und Normale

Eine Funktion besitzt in jedem ihrer Punkte eine Tangente. Die Tangente ist eine lineare Funktion der Form $y=m\cdot x+b$.

Der $m$-Wert gibt die Steigung der Tangente und der $b$-Wert den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Die Steigung der Tangente wird mit der ersten Ableitung bestimmt.
An den Extremstellen ist die Steigung der Tangente immer null. In den Wendepunkten hat die Funktion ihre maximale Steigung.

Beispiel

Berechne die Steigung der Tangente von der Funktion $f(x)=2x^3-4x$ an der Stelle $x=4$.

Da die erste Ableitung die Steigung aller Tangenten angibt, berechnen wir diese mit der Faktorregel:

$$f'(x)=6x^2-4$$

Einsetzen von $x=4$ in die Ableitung ergibt die Steigung:

$$f'(4)=6\cdot 4^2-4=92$$

Die Steigung der Tangente an der Stelle $x=$ beträgt also $m=92$.

Beispiel

An welcher Stelle $x$ hat die Funktion $f(x)=-x^2+8x$ eine Steigung von $m=12$ ?

Ableitung der Funktion bestimmen:

$$f'(x)=-2x+8$$

Einsetzen der Steigung für $f'(x)$:

$$12=-2x+8$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$4=-2x$$

$$-2=x$$

Die Funktion hat somit an der Stelle $x=-2$ eine Steigung von $m=8$.

Normale

Die Normale einer Funktion in einem beliebigen Punkt, ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente in diesem Punkt steht. Um die Gleichung der Normalen in einem Punkt $P$ der Funktion zu ermitteln, wird mit der 1. Ableitung die Steigung der Tangente in diesem Punkt bestimmt.

Da die Normale senkrecht zur Tangente verläuft, gilt für die $m$-Werte der Normalen und der Tangente:

$$m_1\cdot m_2=-1$$

Die Steigung der Normalen wird also aus der Steigung der Tangente berechnet.

Beispiel

Berechne die Normale der Funktion $f(x)-2x^3+x$ im Punkt $P(2/-14)$.

Zuerst berechnen wir die Steigung der Funktion im Punkt $P$.
Dafür bilden wir die 1. Ableitung:

$$f'(x)=-6x^2+1$$

x-Wert des Punktes einsetzen, um die Steigung zu berechnen:

$$f'(2)=-6\cdot 2^2+1=-23$$

Somit beträgt die Steigung der Funktion im Punkt $P$ $m_1=-23$.

Nun können wir mit obiger Formel die Steigung der Normalen im Punkt $P$ berechnen:

$$-23\cdot m_2=-1$$

Formel nach $m_2$ umstellen:

$$m_2=\frac{1}{23}$$

Die Normale ist eine lineare Funktion. Wir erhalten:

$$y=\frac{1}{23}x+b$$

Um das $b$ zu bestimmen, setzen wir den Punkt $P(2/-14)$ in die Formel ein. Wir erhalten:

$$-14=\frac{1}{23}\cdot2+b$$

Gleichung nach $b$ umstellen ergibt:

$$-14,09=b$$

Die Gleichung der Normalen an die Funktion $f$ im Punkt $P$ lautet also:

$$y=\frac{1}{23}x-14,090$$

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