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Polstellen

Als Polstellen werden alle x-Werte bezeichnet, die aus dem Definitionsbereich von gebrochen-rationalen Funktionen ausgeschlossen werden. Es wird zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel unterschieden. Um den Vorzeichenwechsel zu untersuchen, werden x-Werte links und rechts neben der Polstelle in die Funktion eingesetzt.

Beispiel

Bestimme die Polstelle der Funktion $f(x)=\frac{x}{x-4}$ und untersuche, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Die Polstelle der Funktion liegt bei $x=4$, denn der Wert $x=4$ kann nicht in die Funktion eingesetzt werden (Nenner würde sonst null werden).

Nun wird geprüft, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Dafür setzen wir x-Werte rechts und links neben der Polstelle in die Funktion ein:

$$f(3,8)=\frac{3,8}{3,8-4}=-19$$

$$f(4,2)=\frac{4,2}{4,2-4}=21$$

Da die Funktionswerte ein unterschiedliches Vorzeichen haben, liegt an der Stelle $x=4$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

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