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Logistisches Wachstum

Das logistische Wachstum wird verwendet, wenn das exponentielle Wachstum durch eine feste Obergrenze beschränkt werden soll. Die logistische Funktion lautet allgemein:

$$f(t)=\frac{a\cdot S}{a+(S-a)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$$

  • $a$ beschreibt den Anfangswert
  • $S$ beschreibt die obere Schranke
  • $k$ ist die Wachstumskonstante
  • $t$ ist die Zeit
  • $f(t)$ die Größe des Bestandes

Beispiel

Ein Bestand von Bakterien vermehrt sich so, dass aus ursprünglich $10$ Bakterien, nach $12$ Tagen $140$ Bakterien geworden sind. Aufgrund ihrer Umgebung kann die Anzahl nicht über $300$ Bakterien steigen.
Wie lautet die Wachstumsfunktion ?

Wir lesen den Anfangswert und die obere Schranke ab:

$$a=10$$

$$S=300$$

Beide Werte setzen wir in die allgemeine Formel für logistisches Wachstum ein:

$$f(x)=\frac{10\cdot300}{10+(300-10)\cdot e^{-300\cdot k\cdot t}}$$

Dies fassen wir noch zusammen und erhalten:

$$f(x)=\frac{3000}{10+290\cdot e^{-300\cdot k\cdot t}}$$

Nun müssen wir noch das $k$ bestimmen (Wachstumskonstante).
Nach der Aufgabe sind nach $12$ Tagen $140$ Bakterien vorhanden. Dieses setzen wir in die Funktion ein und erhalten:

$$140=\frac{3000}{10+290\cdot e^{-300\cdot k\cdot 12}}$$

Um diese Gleichung nach $k$ umzustellen, bringen wir den kompletten Nenner auf die andere Seite:

$$140\cdot(10+290\cdot e^{-300\cdot k\cdot 12})=3000$$

Klammer auflösen und Exponent über dem $e$ zusammenfassen ergibt:

$$1400+40600\cdot e^{-3600k}=3000$$

Gleichung nach $e$ umstellen:

$$40600\cdot e^{-3600k}=1600$$

$$e^{-3600k}=0,04$$

$$-3600k=\ln(0,04)$$

$$k=0,00089$$

Somit lautet die gesuchte logistische Funktion:

$$f(x)=\frac{3000}{10+290\cdot e^{-300\cdot 0,00089\cdot t}}$$

$$f(x)=\frac{3000}{10+290\cdot e^{0,27\cdot t}}$$

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