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Kurvenschar

Eine Kurvenschar ist eine Funktion mit einem zusätzlichen Parameter.

Ortskurve

Die Ortskurve einer Kurvenschar ist eine Funktion, auf der alle Nullstellen, Extremstellen oder Wendepunkte der Kurvenschar liegen.

Beispiel

Bestimme die Ortskurve der Extremstellen der Funktion $f(x)=3x^2-\frac{3}{k}x^3$.

Um die Extremstellen zu bestimmen, bilden wir die 1. Ableitung der Funktion:

$$f'(x)=6x-\frac{9}{k}x^2$$

Ableitung null setzen und Gleichung nach $x$ auflösen:

$$6x-\frac{9}{k}x^2=0$$

$x$ ausklammern:

$$x\cdot\left( 6-\frac{9}{k}x\right) =0$$

$$x_1=0$$

$$6-\frac{9}{k}x=0$$

$$-\frac{9}{k}x=-6$$

$$-9x=-6k$$

$$x=\frac{2}{3}k$$

Um die Ortskurve zu bestimmen, benötigen wir noch den y-Wert des Punktes:

$$f\left(\frac{2}{3}k \right) = 3\left( \frac{2}{3}k\right)^2-\frac{3}{k}\left( \frac{2}{3}k\right)^3 $$

$$=3\cdot\frac{4k^2}{9}-\frac{3}{k}\cdot\frac{8k^3}{27}$$

$$=\frac{4}{3}k^2-\frac{24k^3}{27k}$$

$$=\frac{4}{3}k^2-\frac{8}{9}k^2= \frac{4}{9}k^2$$

Somit sind der x- und y-Wert der Extremstelle:

$$x=\frac{2}{3}k$$

$$y=\frac{4}{9}k^2$$

Um die Ortskurve zu erhalten, stellen wir den Term für den x-Wert nach $k$ um und setzen dies beim y-Wert ein:

$$k=\frac{3}{2}x$$

Einsetzen in y-Wert:

$$y=\frac{4}{9}\cdot\left( \frac{3}{2}x\right)^2=\frac{36}{36}x^2=x^2 $$

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