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Asymptote

Als Asymptote wird der Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich bezeichnet, wenn dieser Wert eine Zahl oder auch eine Funktion ist.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen wird die Art der Asymptote unterschieden. Es gibt waagerechte Asymptoten, schräge Asymptoten und asymptotische Kurven. Ausschlaggebend für die Art der Asymptote sind bei gebrochenen Funktionen der Grad des Zähler- und Nennerpolynoms. (Der Grad einer Funktion wird definiert durch die größte Potenz (Hochzahl) der Funktion)

Sei $f$ eine gebrochene Funktion mit:

$$f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}$$

Dann ist $Z(x)$ das Zählerpolynom und $N(x)$ das Nennerpolynom.

Grad von $Z(x)$ ist kleiner als Grad von $N(x)$

In diesem Fall nähert sich die Funktion der x-Achse an. Für die Asymptote gilt also:

$$a(x)=0$$

Beispiel

Bestimme die Asymptote der Funktion $f(x)=\frac{x^2}{x^3+4}$.

Hier ist der Grad von $Z(x)$ kleiner als der Grad von $N(x)$.
Die Asymptote lautet also:

$$a(x)=0$$

Um dies rechnerisch zu zeigen, teilen wir alles durch die größte Potenz und bestimmen dann den Grenzwert:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x^3+4} \right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\frac{x^2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{4}{x^3}} \right)=$$

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x^3}} \right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{0}{1+0} \right)=0 $$

Grad von $Z(x)$ und $N(x)$ sind gleich

Die Asymptote verläuft waagerecht über der x-Achse. Es gilt:

$$a(x)=b$$

Beispiel

Bestimme die Asymptote der Funktion $f(x)=\frac{x^2}{x^2+4x}$.

Hier sind $Z(x)$ und $N(x)$ vom gleichen Grad. Die Asymptote verläuft also waagerecht über der x-Achse. Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, teilen wir wieder durch die größte Potenz und erhalten:

$$\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x^2}{x^2+4x}\right)=\lim_{x\to\infty}\left( \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4x}{x^2}}\right) $$

$$=\lim_{x\to\infty}\left( \frac{1}{1+\frac{4}{x}}\right)=\lim_{x\to\infty}\left( \frac{1}{1+0}\right)=1$$

Die Asymptote lautet also:

$$a(x)=1$$

Grad von $Z(x)$ ist größer als Grad von $N(x)$

Es handelt sich um eine schräge Asymptote. Diese ist eine lineare Funktion der Form:

$$a(x)=mx+b$$

Beispiel

Bestimme die Asymptote der Funktion $f(x)=\frac{x^2}{x+4}$.

Hier ist der Grad vom Zählerpolynom größer als der Grad vom Nennerpolynom. Es handelt sich also um eine schräge Asymptote. Zur Berechnung werden die Funktionen mit der Polynomdivision geteilt:

$$x^2:(x+4)=x-4+\left( \frac{16}{x+4}\right) $$

Für den Rest gilt:

$$\lim_{x\to\infty}\left( \frac{16}{x+4}\right)=0$$

Die Gleichung der Asymptote lautet also:

$$a(x)=x-4$$

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