Impressum

Integralrechnung

Die Integralrechnung wird verwendet, um Flächen zwischen einer Funktion und der x-Achse zu bestimmen. Auch die Fläche zwischen zwei Funktionen wird bestimmt.

Wichtige Themen aus der Integralrechnung sind:

Fläche mit der x-Achse

Die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse wird mit Hilfe der Stammfunktion und des bestimmten Integrals berechnet.

Ein Integral heißt „bestimmt“, wenn Integrationsgrenzen gegeben sind. Die Fläche zwischen einer Funktion $f$ und der x-Achse wird mit dem sogenannten „Hauptsatz der Integralrechnung“ berechnet:

$$\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Dabei steht $F(x)$ für die Stammfunktion der Funktion $f(x)$.
Es muss darauf geachtet werden, dass nicht über Nullstellen hinweg integriert werden kann. Sollten Nullstellen im gegebenen Intervall liegen, wird das Integral aufgeteilt.

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen der Funktion $f(x)=x^3-2x+1$ und der x-Achse im Bereich $[0,4]$.
Stammfunktion der Funktion $f$ berechnen:

$$F(x)=\frac{1}{4}x^4-x^2+1x$$

Einsetzen in die Formel für das Integral ergibt:

$$\int_{0}^{4}\left(x^3-2x+1\right)\cdot dx=\left[\frac{1}{4}x^4-x^2+1x\right]_{0}^{4}=\frac{1}{4}\cdot 4^4-4^2+1\cdot4-(\frac{1}{4}\cdot 0^4-0^2+1\cdot0)=52$$

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ und der x-Achse im Bereich $[1,8]$.
Um die Stammfunktion zu bestimmen, schreiben wir uns die Funktion ohne Wurzel und mit rationalem Exponenten auf:

$$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$

Stammfunktion bestimmen:

$$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$$

Einsetzen in die Formel für das Integral ergibt:

$$\int_{1}^{8}x^{\frac{1}{2}}dx=\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{8}=14,42 $$

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen der Funktion $f(x)=\frac{2}{x^2}$ und der x-Achse im Bereich $[3,7]$.
Um die Stammfunktion leichter bestimmen zu können, wird die Funktion ohne Bruch und mit negativem Exponenten aufgeschrieben:

$$f(x)=2x^{-2}$$

Die Stammfunktion der Funktion ist:

$$F(x)=-\frac{2}{3}x^{-2}$$

Einsetzen in die Formel für das Integral ergibt:

$$\int_{3}^{7}2x^{-2}dx=\left[ -\frac{2}{3}x^{-2}\right]_{3}^{7}=1,75 $$

Beispiel

Für welches $t$ beträgt die Fläche zwischen der Funktion $f(x)=-4x^2+t$ und der x-Achse im Bereich $[0,2]$ genau $12$ Flächeneinheiten ?
Funktion integrieren und $t$ als normale Zahl betrachten:

$$F(x)=-\frac{4}{3}x^3+tx$$

Einsetzen in die Formel für das Integral und mit $12$ gleichsetzen:

$$\int_{0}^{2}(-4x^2+t)dx=\left[ -\frac{4}{3}x^3+tx\right]_{0}^{2}=12 $$

Einsetzen der Ober-und Untergrenze und Gleichung aufstellen:

$$(-\frac{4}{3}\cdot2^3+2t)-(-\frac{4}{3}\cdot0^3+0t)=12$$

Gleichung zusammenfassen:

$$-10,67+2t=12$$

Gleichung nach $t$ umstellen:

$$2t=22,67$$

$$t=11,34$$

Beispiel

Für welches $t$ gilt das folgende Integral?

$$\int_{0}^{t}x^3 \cdot dx=20$$
Stammfunktion bestimmen:

$$F(x)=\frac{1}{4}x^4$$

Einsetzen in die Integral-Formel und mit 20 gleichsetzen:

$$\int_{0}^{t}x^3\cdot dx=\left[\frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{t}=20 $$

Ober- und Untergrenze einsetzen ergibt:

$$\left( \frac{1}{4}t^4\right) -\left( \frac{1}{4}\cdot0^4\right) =20$$

Gleichung zusammenfassen:

$$\frac{1}{4}t^4=20$$

Gleichung nach $t$ umstellen:

$$t^4=80$$

$$t=3$$

Fläche zwischen zwei Funktionen

Um die Fläche zwischen zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu berechnen, werden die beiden Funktionen von einander abgezogen:

$$h(x)=f(x)-g(x)$$

Das Integral der Funktion $h(x)$ in den gegebenen Grenzen entspricht dem Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen.

Ähnlich wie bei den Nullstellen muss darauf geachtet werden, dass man nicht über Schnittpunkte hinweg integrieren kann. Wenn die Funktionen einen Schnittpunkt im gegebenen Intervall haben, muss das Integral aufgeteilt werden.

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen den Funktionen $f(x)=-x^2$ und $g(x)=x^3$ zwischen ihren Schnittpunkten.
Funktionen gleichsetze, um die Schnittpunkte zu berechnen:

$$-x^2=x^3$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$-x^2-x^3=0$$

$x^2$ ausklammern:

$$x^2\cdot(-1-x)=0$$

Um die Gleichung zu lösen, kann für $x^2$ null eingesetzt werden. Somit ist die erste Lösung:

$$x_1=0$$

Klammer null setzen:

$$-1-x=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$-1=x$$

Somit ist die zweite Lösung:

$$x_2=-1$$

Um das Integral zwischen den Funktionen zu berechnen, wird die Differenzfunktion $h$ gebildet:

$$h(x)=f(x)-g(x)=-x^2-x^3$$

Stammfunktion der Funktion $h$ bestimmen:

$$H(x)=-\frac{1}{3}x^3-3x^2$$

Integral in den Grenzen der Schnittpunkte berechnen:

$$\int_{-1}^{0}(-x^2-x^3)dx=\left[ -\frac{1}{3}x^3-3x^2\right]_{-1}^{0} $$

Ober- und Untergrenze einsetzen:

$$(-\frac{1}{3}\cdot0^3-3\cdot0^2)-(-\frac{1}{3}\cdot(-1)^3-3\cdot(-1)^2)=-0,08$$

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen der Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=\sqrt{x}$.

Um die Fläche zwischen den Funktionen zu berechnen, werden zuerst die Schnittpunkte benötigt.
Diese berechnen wir indem wir die Funktionen gleichsetzen:

$$x^2=\sqrt{x}$$

Beide Seiten der Gleichung zum Quadrat nehmen, damit die Wurzel verschwindet:

$$x^4=x$$

$x^2$ auf die linke Seite bringen:

$$x^4-x=0$$

$x$ ausklammern:

$$x\cdot(x^2-1)=0$$

Für das linke $x$ kann man null einsetzen und die Gleichung ist gelöst. Somit liegt der erste Schnittpunkt bei $x_1=0$.

Klammer null setzen:

$$x-1=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$x_2=1$$

Um das Integral zwischen den Schnittpunkten zu berechne, werden beide Funktionen von einander abgezogen:

$$h(x)=f(x)-g(x)$$

$$h(x)=x^2-\sqrt{x}$$

Die Wurzel wird als Hochzahl geschrieben, damit man die Funktion besser integrieren kann:

$$h(x)=x^2-x^{\frac{1}{2}}$$

Stammfunktion bestimmen:

$$H(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$$

Nun wird das Integral zwischen den Schnittpunkten bestimmt:

$$\int_{0}^{1}\left( x^2-x^{\frac{1}{2}}\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1}= $$

Obergrenze minus Untergrenze rechnen:

$$\left( \frac{1^3}{3}-\frac{2}{3}\cdot1^{\frac{3}{2}}\right)-\left( \frac{0^3}{3}-\frac{2}{3}\cdot0^{\frac{3}{2}}\right)=-0,33 $$

Somit ist die Fläche zwischen den Funktionen $A=0,33$.

Stammfunktion

Die Stammfunktion einer Funktion $f(x)$ ist diejenige Funktion, die abgeleitet $f(x)$ ergibt. Sie wird auch das Integral der Funktion $f$ genannt und mit $F$ bezeichnet.

Die Stammfunktion spielt unter anderem eine Rolle bei der Berechnung von Flächen im Bereich der Integralrechnung.
Für eine Funktion $f$ mit:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

wird die Stammfunktion berechnet mit:

$$F(x)=\frac{a}{n+1}\cdot x^{n+1}+C$$

Das $C$ bezeichnet die Integrationskonstante. Diese wird an das Integral geschrieben, wenn keine Integrationsgrenzen gegeben sind.

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Funktion $f(x)=2x^3$.

Wir wenden die Formel für die Stammfunktion an und erhalten:

$$F(x)=\frac{2}{4}x^4=\frac{1}{2}x^4+C$$

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Funktion $f(x)=2x^2+3x-2$.

Wir addieren 1 zum Exponenten hinzu und teilen dies durch die Zahl vor dem x:

$$F(x)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x$$

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Funktion $f(x)=\frac{5}{x^3}$.

Die Funktion schreiben wir uns ohne Bruch und mit negativer Hochzahl auf:

$$f(x)=5\cdot x^{-3}$$

Nun wenden wir die Formel für die Stammfunktion an und erhalten:

$$F(x)=\frac{5}{-2}x^{-2}=-\frac{5}{2}x^{-2}=-\frac{5}{2x^2}+C$$

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Funktion $f(x)=5\cdot\sqrt{x}$.

Wir schreiben uns die Funktion ohne Wurzel und mit rationalem Exponenten auf:

$$f(x)=5x^{\frac{1}{2}}$$

Stammfunktion mit der Formel bestimmen ergibt:

$$F(x)=\frac{5}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$$

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Exponentialfunktion $f(x)=4\cdot e^{2x}$.

Die Ableitung des Exponenten wird durch die Zahl vor dem $e$ geteilt:

$$F(x)=\frac{4}{2}e^{2x}=2e^{2x}+C$$

Ober- und Untersumme

Die Ober- und Untersumme wird verwendet, um Flächen unter einer Funktion ohne Verwendung der Integralrechnung zu bestimmen.

Die Fläche unter der Funktion wird in beliebig viele Rechtecke unterteilt. Alle diese Rechtecke haben eine gleiche Breite $b$ aber eine unterschiedliche Höhe $f(x)$. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke ergibt eine Näherung der gesuchten Fläche.

Bei der Untersumme werden Rechtecke gebildet, die unter der Funktion liegen. Das Ergebnis der Untersumme ist immer etwas kleiner als der echte Flächeninhalt.

Bei der Obersumme hingegen werden Rechtecke gebildet, die über der Funktion liegen. Das Ergebnis der Obersumme ist immer etwas größer als der echte Flächeninhalt.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$. Berechne die Untersumme der Funktion im Bereich von $[2,5]$.
Wir wählen dazu z.b $n=3$ Rechtecke.

Die Breite der Rechtecke ist dann:

$$b=\frac{5-2}{3}=1$$

Die Höhe der Rechtecke ist allerdings unterschiedlich und muss für jedes Rechteck einzeln berechnet werden:

$$f(2)=4$$

$$f(3)=9$$

$$f(4)=16$$

Nun kennen wir die Breite und Höhe jedes Rechtecks und können die Flächen der Rechtecke addieren.
Wir erhalten dann die Untersumme:

$$U=1\cdot f(2)+1\cdot f(3)+1\cdot f(4)$$

$$=1\cdot 4+1\cdot9+1\cdot16=29$$

Lineare Substitution

Die lineare Substitution wird verwendet, um verkette Funktionen zu integrieren, bei denen die innere Funktion eine lineare Funktion ist, wie z.B die Funktion:

$$f(x)=(4x-1)^5$$

Die innere Funktion ist $v(x)=4x-1$ und die äußere Funktion $u(x)=x^5$.

Beispiel

Integration der Funktion $f(x)=(4x-1)^5$ mit der linearen Substitution:

Substitution (Ersetzung) der inneren Funktion:

$$z=4x-1$$

Ableitung der Funktion $z$ nach der Variable $x$:

$$\frac{dz}{dx}=4$$

Umstellen nach $dx$:

$$dx=\frac{1}{4}dz$$

Nun berechnen wir das Integral und setzen die Substitution ein:

$$\int (4x-1)^5\cdot dx =\int z^5\cdot\frac{1}{4}dz=\frac{1}{4}\int z^5\cdot dz$$

Dieses Grundintegral können wir jetzt ganz normal integrieren:

$$\frac{1}{4}\int z^5\cdot dz=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}z^6=\frac{1}{24}z^6$$

Nun kann noch „rück-substituiert“ werden, indem die innere Funktion wieder für $z$ eingesetzt wird:

$$F(x)=\frac{1}{24}(4x-1)^6$$

Beispiel

Berechne die Stammfunktion der Funktion $f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2}dx$ mit der linearen Substitution.

Hier substituieren wir:

$$z=2x+1$$

Ableitung nach $z$ bestimmen:

$$\frac{dz}{dx}=2$$

Gleichung nach $dx$ umstellen:

$$dx=\frac{1}{2}dz$$

Integral berechnen:

$$\int\frac{1}{(2x+1)^2}dx=\int\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{2}dz $$

Hier kann man noch $\frac{1}{2}$ vor das Integral ziehen:

$$\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{z}\cdot dz$$

Dies ist ein Grundintegral. Die Stammfunktion ist:

$$F(x)=\frac{1}{2}\ln(z)+C$$

Da $z=2x+1$ gilt, erhalten wir:

$$F(x)=\frac{1}{2}\ln(2x+1)+C$$

$$F(x)=\frac{1}{24}(4x-1)^6$$

Partielle Integraion

Die partielle Integration kann verwendet werden, um Produkte von Funktionen zu integrieren, wie z.B die Funktion $f(x)=e^x\cdot x$.

Die Formel für die partielle Integration lautet:

$$\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)dx=\left[ f(x)\cdot g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(x)\cdot g'(x) $$

Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion von $f'(x)$ leicht bestimmt werden kann.

Beispiel

Berechne das Integral der Funktion $f(x)=e^x\cdot x$ in den Grenzen $[0,3]$ mit der partiellen Integration.

$$\int_{0}^{3}e^x\cdot x=\left[e^x\cdot x \right]_{0}^{3} -\int_{0}^{3}e^x\cdot 1\cdot dx$$

Das rechte Integral ist jetzt ein Grundintegral und kann einfach bestimmt werden:

$$=\left[e^x\cdot x \right]_{0}^{3}-\left[ e^x\right]_{0}^{3}$$

Integrationsgrenzen einsetzen ergibt:

$$\left( e^3\cdot 3 – e^0\cdot 0\right) -\left(e^3-e^0 \right)=41,17 $$

Uneigentliches Integral

Integrale bezeichnet man als „uneigentlich“, wenn die Integrationsgrenzen ins unendliche konvergieren:

$$\int_{a}^{\infty}f(x)\cdot dx$$

Der Flächeninhalt kann sich dabei einem festen Wert annähern oder ebenfalls gegen unendlich streben.

Beispiel

Bestimme das Integral der Funktion:
$$\int_{1}^{\infty} \frac{2}{x^2}\cdot dx=\int_{1}^{t}2\cdot x^{-2}\cdot dx$$

Funktion integrieren:

$$\int_{1}^{t}2\cdot x^{-2}\cdot dx=\left[-2x^{-1}\right]_{1}^{t}=-2t^{-1}-(-2\cdot 1^{-1})=-\frac{2}{t}+2$$

Grenzwert bestimmen:

$$\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{2}{t}+2\right)=2$$

Beispiel

Berechne das folgende uneigentliche Integral:

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$$

Hier muss folgender Grenzwert bestimmt werden:

$$\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}e^{-x}dx$$

Stammfunktion der e-Funktion bestimmen:

$$F(x)=-e^{-x}$$

Einsetzen in die Formel für das Integral ergibt:

$$\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}e^{-x}dx=\left[ -e^{-x}\right]_{0}^{t} $$

Ober- und Untergrenze einsetzen:

$$\lim_{t\to\infty}(-e^{-t}-(-e^{0}))$$

Zusammenfassen ergibt:

$$\lim_{t\to\infty}(-e^{-t}+1)$$

Um den Grenzwert besser „sehen“ zu können, wird die e-Funktion als Bruch und ohne negativen Exponenten geschrieben:

$$\lim_{t\to\infty}(-\frac{1}{e^t}+1)=-\frac{1}{\infty}+1=0+1=1$$

Es gilt somit:

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$$

Kommentar schreiben

Kommentar