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Exponentielles Wachstum

Das exponentielle Wachstum wird verwendet, wenn sich ein Bestand um einen Faktor erhöht oder verringert, wie z.b der Verdoppelung, Verdreifachung oder Halbierung. Auch bei prozentualer Zunahme oder Abnahme wird das exponentielle Wachstum verwendet.
Die allgemeine Exponentialfunktion lautet:

$$f(t)=a\cdot b^t$$

Das $a$ ist die Anfangsgröße eines Bestandes und $b$ der Wachstumsfaktor. Das $t$ steht für die Zeit.
Diese kann je nach Aufgabenstellung in Tagen, Wochen, Minuten, Sekunden e.t.c sein.

Beispiel

Ein Bestand von Anfangs 200 vermehrt sich alle 4 Stunden um $8\%$.
Wie groß ist der Bestand nach $21,5$ Stunden ?

Um die Frage in der Aufgabe zu beantworten, muss zuerst die Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum aufgestellt werden.
Das es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, erkennen wir daran, dass wir ein prozentuales Wachstum vorliegen haben.

Exponentialfunktion:

$$f(t)=a\cdot b^t$$

Das $a$ in der Funktion ist Anfangswert aus der Aufgabe:

$$f(t)=200\cdot b^t$$

Um das $b$ zu bestimmen, also den Wachstumsfaktor, wird ein weiterer Punkt der Funktion benötigt.

Dazu erhöhen wir den Anfangswert um $8\%$, denn das ist nach der Aufgabe der Bestand nach 4 Stunden.

$$200\cdot 1,08=216$$

Nach 4 Stunden hat der Bestand also eine Größe von 216.

Dies setzen wir in die Funktion ein und bestimmen $b$:

$$216=200\cdot b^4$$

Formel nach $b$ umstellen:

$$1,08=b^4$$

$$1,019=b$$

Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:

$$f(t)=200\cdot 1,019^t$$

Nun lässt sich der Bestand nach $21,5$ Stunden berechnen:

$$f(21,5)=200\cdot1,019^{21,5}=299,76$$

Der Bestand hat nach $21,5$ Stunden also eine Größe von etwa $300$.

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