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Ableitung

Die Ableitung wird verwendet, um Aussagen über die Steigung und die Krümmung von Funktionen zu machen. Die 1. Ableitung gibt die Steigung einer Funktion in jedem Punkt an und die 2. Ableitung die Krümmung.
Um Funktionen abzuleiten, gibt es verschiedene Ableitungsregeln:

Diese Ableitungsregeln werden im Folgenden an Beispielen vorgestellt.

Faktorregel

Die Faktorregel wird verwendet, um die Ableitung von einfachen, ganzrationalen Funktionen zu bestimmen. Solche Funktionen sind z.B $f(x)=x^3$, $g(x)=2x^4-x^2$ oder auch $f(x)=3\cdot\sqrt{x}$.

Allgemein wird eine ganzrationale Funktion geschrieben als:

$$f(x)=a\cdot x^n$$

Die Formel für die Ableitung ist dann:

$$f'(x)=n\cdot a\cdot x^{n-1}$$

(Das $n$ wird also nach vorne gezogen und mit der Zahl vor dem $x$ multipliziert. Dann wird die Hochzahl um 1 verringert)

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=2x^3 $ mit der Faktorregel.

Wir wenden obige Formel an und multiplizieren die Hochzahl mit der Zahl vor dem $x$ und ziehen von der Hochzahl 1 ab:

$$f'(x)=6x^2$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=-2x^4+3x^3-2x^2+x-1 $.

Die Funktion besteht aus einer Summe. Die Summenregel besagt, dass die einzelnen Summanden mit der Faktorregel abgeleitet werden können:

$$f'(x)=-8x^3+9x^2-4x+1$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{2}{x} $.

Die Funktion schreibt man sich erst einmal um und zwar mit negativem Exponenten:

$$f(x)=2\cdot x^{-1}$$

Die Funktion können wir jetzt wieder mit der Faktorregel ableiten:

$$f'(x)=-2x^{-2}$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $4\cdot\sqrt{x} $.

Die Wurzelfunktion schreiben wir uns zuerst als Hochzahl auf:

$$f(x)=4\cdot x^{\frac{1}{2}}$$

Jetzt wird wieder mit der Faktorregel abgeleitet:

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\cdot x^{-\frac{1}{2}}$$


Produktregel

Viele Funktionen bestehen aus einem Produkt von Funktionen, wie z.B $f(x)=x\cdot e^x$ oder $f(x)=x^2\cdot\sin(x)$.
Da dies unterschiedliche Typen von Funktionen sind, können sie nicht zusammengefasst werden. Zur Ableitung solcher Funktionen wird die Produktregel verwendet.
Eine Funktion $f$, die aus einem Produkt von Funktionen besteht, wird allgemein geschrieben als:

$$f(x)=u(x)\cdot v(x)$$

Die Formel zur Ableitung mit der Produktregel lautet dann:

$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion: $f(x)=2x\cdot 5x^2$ mit der Produktregel.

Produktregel:

$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ aufstellen:

$$u(x)=2x$$

$$v(x)=5x^2$$

$$u'(x)=2$$

$$v'(x)=10x$$

Einsetzen in die Formel für die Produktregel:

$$f'(x)=2\cdot 5x^2+2x\cdot 10x$$

Das können wir noch zusammenfassen und erhalten:

$$f'(x)=10x^2+20x^2=30x^2$$

Beispiel

Bestimmen die Ableitung der Funktion $f(x)=(2x+1)\cdot\sqrt{x}$.

Funktionen $u$ und $v$ aufstellen:

$$u(x)=2x+1$$

$$v(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Ableitungen von $u$ und $v$ bestimmen:

$$u'(x)=2$$

$$v'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Einsetzen in die Formel für die Produktregel ergibt:

$$f'(x)=2\cdot x^{\frac{1}{2}}+(2x+1)\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion: $f(x)=2x\cdot 5x^2$ mit der Produktregel.

Produktregel:

$$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$

Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ aufstellen:

$$u(x)=2x$$

$$v(x)=5x^2$$

$$u'(x)=2$$

$$v'(x)=10x$$

Einsetzen in die Formel für die Produktregel:

$$f'(x)=2\cdot 5x^2+2x\cdot 10x$$

Das können wir noch zusammenfassen und erhalten:

$$f'(x)=10x^2+20x^2=30x^2$$

Kettenregel

Die Kettenregel wird verwendet, um verkettete Funktionen abzuleiten. Eine Funktion ist verkettet, wenn sie aus zwei Funktionen „zusammengesetzt“ ist.
Die Funktion $f(x)=(2x+1)^3$ ist z.B zusammengesetzt aus den Funktionen $u(x)=x^3$ und $v(x)=2x+1$.
Für eine verkettete Funktion $f$ mit:

$$f(x)=u(v(x))$$

lautet die Formel zur Ableitung mit der Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=(x^3-2x)^3$.

Wir stellen die innere und äußere Funktion auf und bilden deren Ableitungen:

Innere Funktion: $$v(x)=x^3-2x$$

Äußere Funktion: $$u(x)=x^3$$

Ableitungen bestimmen:

$$v'(x)=3x^2-2$$

$$u'(x)=3x^2$$

Formel für die Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Einsetzen in die Formel ergibt die Ableitung:

$$f'(x)=3(x^3-2x)^2\cdot (3x^2-2)$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)= \sqrt{2x+4}$ mit der Kettenregel.
Zuerst schreiben wir uns die Funktion ohne Wurzel und mit rationalem Exponenten auf:

$$f(x)=(2x+4)^{\frac{1}{2}}$$

Innere Funktion:

$$v(x)=2x+4$$

Äußere Funktion:

$$u(x)=x^{\frac{1}{2}}$$

Ableitungen von $u$ und $v$:

$$v'(x)=2$$

$$u'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Formel für die Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Einsetzen in die Formel ergibt die Ableitung:

$$f'(x)=\frac{1}{2}(2x+4)\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot2$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)= e^{6x-5}$ mit der Kettenregel.
Innere Funktion:

$$v(x)=6x-5$$

Äußere Funktion:

$$u(x)=e^x$$

Ableitungen bestimmen:

$$v'(x)=6$$

$$u'(x)=e^x$$

Formel für die Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Einsetzen in die Formel ergibt die Ableitung:

$$f'(x)=e^{6x-5}\cdot6$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sin(-6x+8) $ mit der Kettenregel.
Innere Funktion:

$$v(x)=-6x+8$$

Äußere Funktion:

$$u(x)=\sin(x)$$

Ableitungen bestimmen:

$$v'(x)=-6$$

$$u'(x)=\cos(x)$$

Formel für die Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Einsetzen in die Formel ergibt die Ableitung:

$$f'(x)=\cos(-6x+8)\cdot(-6)$$

Quotientenregel

Die Quotientenregel wird verwendet, um gebrochene Funktionen abzuleiten. Ist $f$ eine gebrochene Funktion mit:

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$

dann lautet die Formel zur Ableitung mit der Quotientenregel:

$$f'(x)=\frac{u’\cdot v-u\cdot v‘}{v^2}$$

Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{4x^3+x}{x^2-2}$.
Funktionen $u$ und $v$ aufstellen:

$$u(x)=4x^3+x$$

$$v(x)=x^2-2$$

Ableitungen bestimmen:

$$u'(x)=12x^2+1$$

$$v'(x)=2x$$

Einsetzen in die Formel für die Quotientenregel:

$$f'(x)=\frac{(12x^2+1)\cdot(x^2-2)-4x^3\cdot2x}{(x^2-2)^2}$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{\sin(x)}{2x+4}$.

Funktionen $u$ und $v$ aufstellen:

$$u(x)=\sin(x)$$

$$v(x)=2x+4$$

Ableitungen von $u$ und $v$:

$$u'(x)=\cos(x)$$

$$v'(x)=2$$

Einsetzen in die Formel für die Quotientenregel:

$$f'(x)=\frac{\cos(x)\cdot(2x+4)-\sin(x)\cdot2}{(2x+4)^2}$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)= e^{6x-5}$ mit der Kettenregel.
Innere Funktion:

$$v(x)=6x-5$$

Äußere Funktion:

$$u(x)=e^x$$

Ableitungen bestimmen:

$$v'(x)=6$$

$$u'(x)=e^x$$

Formel für die Kettenregel:

$$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$$

Einsetzen in die Formel ergibt die Ableitung:

$$f'(x)=e^{6x-5}\cdot6$$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\frac{2e^x}{\sqrt{x}+1}$.
Funktionen $u$ und $v$ aufstellen:

$$u(x)=2e^x$$

$$v(x)=\sqrt{x}+1=x^{\frac{1}{2}}+1$$

Ableitungen von $u$ und $v$:

$$u'(x)=2e^x$$

$$v'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Einsetzen in die Formel für die Quotientenregel:

$$f'(x)=\frac{2e^x\cdot(x^{\frac{1}{2}}+1)-2e^x\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{(2x+4)^2}$$

h-Methode

Die h-Methode wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle $x_0$ oder allgemein zu bestimmen. Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion in einem beliebigen Punkt an.

Bei der h-Methode wird nun eine Sekante (Gerade durch 2 Punkte) zu einer Tangente (Gerade in einem Punkt) angenähert. Dies geschieht, wenn h sehr klein wird bzw. gegen null geht.

Die Formel für die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x_0$ mit der h-Methode ist:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\left( \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right) $$

Beispiel

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=4$ mit der h-Methode.
$x_0=4$ in die Formel einsetzen:

$$\lim_{h\to0}\left( \frac{f(4+h)-f(4)}{h}\right) $$

Werte in die Funktion einsetzen:

$$f(4+h)=(4+h)^2$$

$$f(4)=4^2=16$$

Einsetzen in die Formel für die h-Methode:

$$\lim_{h\to0}\left(\frac{(4+h)^2-16}{h} \right) $$

Klammer mit der binomischen Formel auflösen und zusammenfassen:

$$\lim_{h\to0}\left(\frac{16+8h+h^2-16}{h} \right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{8h+h^2}{h} \right)$$

$h$ kürzen ergibt:

$$\lim_{h\to0}(8+h)$$

Da $h$ gegen $0$ geht, erhalten wir:

$$\lim_{h\to0}(8+h)=8$$

Die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=4$ ist also $8$.

Man schreibt:

$$f'(4)=8$$

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