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Kurvendiskussion

Im Bereich der Kurvendiskussion geht es darum, Funktionsgraphen zu beschreiben und wichtige Punkte und Eigenschaften von Funktion zu bestimmen.
Die Haupteigenschaften von Funktionen sind:

Symmetrie

Funktionen können achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder nicht-symmetrisch sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann die Symmetrie an den geraden bzw. ungeraden Hochzahlen erkannt werden.
Wenn die Funktion nur gerade Hochzahlen hat, dann ist sie achsensymmetrisch. Bei nur ungeraden Hochzahlen entsprechend punktsymmetrisch. Sollte die Funktion gemischte Hochzahlen haben, dann ist sie nicht-symmetrisch.

Achsensymmetrie

Wenn gleiche $x$-Werte mit unterschiedlichem Vorzeichen in die Funktion einsetzt werden, kommt der gleiche $y$-Wert heraus.

Es gilt also:

$$f(-x)=f(x)$$

Punktsymmetrie

Wenn bei punktsymmetrischen Funktionen gleiche $x$-Werte mit unterschiedlichem Vorzeichen eingesetzt werden, kommt der gleiche $y$-Wert mit unterschiedlichem Vorzeichen heraus.

Es gilt:

$$f(-x)=-f(x)$$

Beispiel

Zeige rechnerisch, dass die Funktion $f(x)=4x^4-3x^2+4$ achsensymmetrisch ist.

Wir setzen $-x$ in die Funktion ein und erhalten:

$$f(-x)=4(-x)^4-3(-x)^2+4$$

Das Minus hebt sich aufgrund der geraden Hochzahlen auf, sodass wir erhalten:

$$f(-x)=4(-x)^4-3(-x)^2+4=4x^4-3x^2+4=f(x)$$

Somit ist die Funktion achsensymmetrisch.

Beispiel

Wir überprüfen rechnerisch, ob folgende Funktion punktsymmetrisch ist:

$$f(x)=2x^5-4x^3$$

Wir setzen wieder $-x$ in die Funktion ein:

$$f(-x)=2(-x)^5-4(-x)^3$$

Hier bleibt das Minus aufgrund der ungeraden Hochzahlen bestehen und wir erhalten:

$$f(-x)=2(-x)^5-4(-x)^3=-2x^5+4x^3$$

Wenn wir das Minus ausklammern erhalten wir:

$$f(-x)=2(-x)^5-4(-x)^3=-2x^5+4x^3=-(2x^5-4x^3)=-f(x)$$

Somit ist die Funktion punktsymmetrisch.

Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion sind alle Schnittpunkte mit der x-Achse. Zur Berechnung wird die Funktion null gesetzt und die Gleichung nach $x$ aufgelöst.

Beispiel

Berechne die Nullstellen der Funktion: $f(x)=2x^3-4x$.

Funktion null setzen:

$$2x^3-4x=0$$

x ausklammern:

$$x\cdot(2x^2-4)=0$$

Für das linke $x$ können wir $0$ einsetzen und die Gleichung ist gelöst. Somit gilt für die erste Lösung $x_1=0$.

Für die nächsten Lösungen setzen wir die Klammer null:

$$2x^2-4=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$2x^2=4$$

$$x^2=2$$

$$x_2=1,41$$

$$x_3=-1,41$$

Somit liegen die Nullstellen bei $N_1(0/0), N_2(1,41/0), N_3(-1,41/0)$.

Extremstellen

Als Extremstellen einer Funktion werden alle Punkte mit einer waagerechten Tangente bezeichnet. Für Extremstellen gelten zwei Kriterien. Diese werden als notwendiges und hinreichendes Kriterium bezeichnet.

Das notwendige Kriterium besagt, dass an den Extremstellen die 1. Ableitung 0 ist.

Das hinreichende Kriterium besagt, dass an einem Hochpunkt die 2. Ableitung kleiner als 0 und an einem Tiefpunkt größer als 0 ist.

Beispiel

Berechne die Extremstellen der Funktion: $f(x)=x^3-2x+1$ und untersuche, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

1. Ableitung mit der Faktorregel bestimmen:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Ableitung null setzen:

$$3x^2-2=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$3x^2=2$$

$$x^2=\frac{2}{3}$$

$$x_1=0,82$$

$$x_2=-0,82$$

2. Ableitung bestimmen:

$$f“(x)=6x$$

Extremstellen in die 2. Ableitung einsetzen:

$$f“(0,82)=6\cdot0,82=4,92$$

$$f“(-0,82)=6\cdot(-0,82)=-4,92$$

Somit befindet sich an der Stelle $x=0,82$ ein Tiefpunkt und an der Stelle $x=-0,82$ ein Hochpunkt.

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten beschreibt die Bereiche einer Funktion, in denen sie steigt bzw. fällt. In diesen Bereichen haben die Tangenten eine positive bzw. negative Steigung. Die Monotonie ändert sich an den Extremstellen einer Funktion.

Zur Bestimmung des Monotonieverhaltens werden zuerst die Extremstellen der Funktion berechnet.
Dann werden Intervalle aufgestellt, die von den Extremstellen begrenzt werden. Es wird dann ein beliebiger Wert aus dem Intervall in die 1. Ableitung eingesetzt.
Ist das Ergebnis größer als null, dann ist die Funktion auf dem gesamten Intervall monoton steigend. Wenn das Ergebnis kleiner ist als null, dann entsprechend monoton fallend.

Beispiel

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $f(x)=x^3-2x$.

Ableitung bestimmen:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Ableitung null setzen, um Extremstellen zu bestimmen:

$$3x^2-2=0$$

$$3x^2=2$$

$$x^2=0,67$$

Wurzel ziehen:

$$x_1=0,82$$

$$x_2=-0,82$$

Intervalle aufstellen, auf denen sich die Monotonie ändert:

$$I_1=(-\infty,-0,82)$$

$$I_2=(-0,82,0,82)$$

$$I_3=(0,82,\infty)$$

Beliebigen Wert aus den Intervallen in die 1. Ableitung einsetzen:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Wert aus dem 1. Intervall einsetzen:

$$f'(-1)=3\cdot(-1)^2-2=1>0$$

Wert aus dem 2. Intervall einsetzen:

$$f'(0)=3\cdot0^2-2=-2<0$$ Wert aus dem 3. Intervall einsetzen: $$f'(1)=3\cdot 1^2-2=1>0$$

Somit ist die Funktion auf dem ersten und dritten Intervall monoton steigend, auf dem zweiten monoton fallend.

Wendepunkt

In den Wendepunkten ändert sich die Krümmung einer Funktion von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Im Wendepunkt liegt keine Krümmung vor, deswegen ist dort die 2. Ableitung null.

Der Wendepunkt hat zusätzlich noch die Eigenschaft, dass die Funktion in diesem Punkt die größte bzw. kleinste Steigung der Tangente aufweist.

Beispiel

Berechne die Wendepunkte der Funktion $f(x)=-x^5+5x^4-8x+9$.

Um den Wendepunkt zu berechnen wird die zweite Ableitung benötigt. Diese berechnen wir mit der Faktorregel:

$$f'(x)=-5x^4+20x^3-8$$

$$f“(x)=-20x^3+60x^2$$

Zweite Ableitung null setzen:

$$-20x^3+60x^2=0$$

$x^2$ ausklammern:

$$x^2\cdot(-20x+60)=0$$

Für das $x^2$ kann null eingesetzt werden. Somit liegt der erste Wendepunkt bei $x=0$.
Für die nächste Lösung wird die Klammer null gesetzt:

$$-20x+60=0$$

Gleichung nach $x$ auflösen:

$$-20x=-60$$

$$x=3$$

Um die y-Werte der Wendepunkte zu bestimmen, werden die x-Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt:

$$f(0)=-0^5+5\cdot0^4-8\cdot0+9=9$$

$$f(3)=-3^5+5\cdot3^4-8\cdot3+9=147$$

Die Wendepunkte liegen also bei $W_1(0/9)$ und $W_2(3/147)$.

Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten einer Funktion $f$ gibt an, in welchen Bereichen die Funktion rechts- bzw. linksgekrümmt ist. Die Krümmung ändert sich immer an den Wendepunkten einer Funktion.

Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, werden also die Wendepunkte berechnet und dann Intervalle aufgestellt, die von den Wendepunkten begrenzt werden.

$$I_1=\left\lbrace -\infty,x_W \right\rbrace $$

$$I_2=\left\lbrace x_W,\infty \right\rbrace $$

Dann wird ein beliebiger Wert aus den Intervallen in die 2. Ableitung eingesetzt und geprüft, ob das Ergebnis größer oder kleiner als null ist.

Ist das Ergebnis kleiner als null, dann ist die Funktion auf dem gesamten Intervall rechtsgekrümmt.

Ist das Ergebnis größer als null, dann entsprechend linksgekrümmt.

Beispiel

Berechne das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x)=2x^3-4x+1$.

Ableitungen der Funktion bestimmen:

$$f'(x)=6x^2-4$$

$$f“(x)=12x$$

Zweite Ableitung null setzen und nach $x$ auflösen:

$$12x=0$$

$$x=0$$

Die Funktion hat an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt. Die Intervalle wo sich die Krümmung ändert, lauten also:

$$I_1=(-\infty,0)$$

$$I_2=(0,\infty)$$

Um jetzt zu prüfen, ob die Funktion auf den Intervallen links- oder rechtsgekrümmt ist, setzen wir einen beliebigen Wert aus den Intervallen in die 2. Ableitung ein:

$$f“(-1)=12\cdot(-1)=-12<0$$ $$f''(1)=12\cdot1=12$$ Auf dem ersten Intervall ist die zweite Ableitung kleiner als $0$, somit ist die Funktion auf dem gesamten Intervall rechtsgekrümmt und auf dem zweiten Intervall dementsprechend linksgekrümmt.

Beispiel

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen Konzentration im Blut nach folgender Funktion beschrieben werden kann:

$$f(t)=12t\cdot e^{-0,8t}$$

Dabei steht $t$ für die Stunden und $f(t)$ für Milligramm pro Liter.

a) Nach welcher Zeit ist die maximale Konzentration im Blut erreicht ?

b) Nach welcher Zeit wird das Medikament im Blut am stärksten abgebaut ?

Zu a)
Hier wird das Maximum der Funktion gesucht. Zur Berechnung wird die erste Ableitung mit der Produktregel bestimmt:

$$f'(t)=12e^{-0,8t}+12t\cdot(-0,8t)\cdot e^{-0,8t}$$

Rechten Term der Funktion zusammenfassen:

$$f'(t)=12e^{-0,8t}-9,6t\cdot e^{-0,8t}$$

Gleichung null setzen, um die Extremstellen zu bestimmen:

$$12e^{-0,8t}-9,6t\cdot e^{-0,8t}=0$$

Als nächstes $e^{-0,8t}$ ausklammern:

$$e^{-0,8t}\cdot(12-9,6t)=0$$

Da der linke Teil vom Produkt nicht null werden kann, wird nur die Klammer null gesetzt:

$$12-9,6t=0$$

Gleichung nach $t$ auflösen:

$$-9,6t=-12$$

$$t=1,25$$

Die maximale Konzentration im Blut ist nach 1,25 Stunden erreicht.

Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten im Unendlichen beschreibt das Verhalten einer Funktion für das Einsetzen sehr großer bzw. sehr kleiner x-Werte. Wenn immer größere x-Werte eingesetzt werden, können die Funktionswerte sehr groß oder sehr klein werden. Dies wird geschrieben als:

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$$

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$$

Das Verhalten im Unendlichen wird bei ganzrationalen Funktion von der größten Potenz bestimmt.

Beispiel

Bestimme das Verhalten der Funktion $f(x)=2x^4+2x^3-4x+1$ im Unendlichen.

Bei ganzrationalen-Funktionen muss nur die größte Potenz der Funktion betrachtet werden:

$$\lim_{x\to +\infty}2x^4 =+\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}2x^4=+\infty$$

Beide Grenzwerte laufen gegen plus unendlich, denn negative Zahlen werden positiv, wenn sie hoch 4 genommen werden.

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